Harmonik analiz

Harmonik analiz, bir fonksiyon ile onun frekanstaki temsili arasındaki bağlantıları araştırmakla ilgilenen matematik dalıdır. Frekans gösterimi, gerçek doğru üzerindeki fonksiyonlar için Fourier dönüşümü kullanılarak veya periyodik fonksiyonlar için Fourier serisi kullanılarak bulunur. Bazen harmonik analiz yerine kullanılsa da, bu dönüşümlerin diğer alanlara genelleştirilmesi genellikle Fourier analizi olarak adlandırılır. Harmonik Analiz sayı teorisi, temsil teorisi, sinyal işleme, kuantum mekaniği, gelgit analizi ve nörobilim gibi çok çeşitli bilimsel alanlardaki uygulamalarla geniş bir konu haline gelmiştir.

"Harmonik" terimi, "müzikte yetenekli" anlamına gelen Eski Yunanca harmonikos kelimesinden türemiştir.^[1] Fiziksel özdeğer problemlerinde, müzik notalarının harmoniklerinin frekansları gibi frekansları birbirinin tam sayı katları olan dalgaları ifade etmeye başlamış ancak sonradan terim orijinal anlamının ötesinde genelleştirilmiştir.

Rⁿ üzerindeki klasik Fourier dönüşümü, özellikle temperlenmiş dağılımlar gibi daha genel nesneler üzerindeki Fourier dönüşümü, halen devam eden bir araştırma alanıdır.

Fourier serileri, harmonik analiz ile fonksiyonel analiz arasında bir bağlantı sağlayan Hilbert uzayları bağlamında incelenebilir. Dönüşüm tarafından eşlenen uzaylara bağlı olarak Fourier dönüşümünün dört versiyonu vardır:

• ayrık/periyodik–ayrık/periyodik: Ayrık Fourier dönüşümü,
• sürekli/periyodik–ayrık/periyodik olmayan: Fourier serisi,
• ayrık/periyodik olmayan-sürekli/periyodik: ayrık zamanlı Fourier dönüşümü,
• sürekli/periyodik olmayan–sürekli/periyodik olmayan: Fourier dönüşümü.

• Elias Stein ve Guido Weiss, Öklid Uzaylarında Fourier Analizine Giriş, Princeton University Press, 1971.0-691-08078-XISBN 0-691-08078-X
• Elias Stein, Timothy S. Murphy ile birlikte, Harmonik Analiz: Gerçek Değişken Yöntemler, Ortogonallik ve Salınımlı İntegraller, Princeton University Press, 1993.
• Elias Stein, Littlewood-Paley Teorisi ile İlgili Harmonik Analiz Konuları, Princeton University Press, 1970.
• Yitzhak Katznelson, Harmonik analize giriş, Üçüncü baskı. Cambridge University Press, 2004.0-521-83829-0ISBN 0-521-83829-0 ; 0-521-54359-2
• Terence Tao, Fourier Dönüşümü 28 Aralık 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. . (Fonksiyonların ℤ₂ üzerinden harmonik ayrıştırma olarak tek + çift parçalara ayrıştırılmasını tanıtır.)
• Yurii I. Lyubich. Grupların Banach Temsil Teorisine Giriş . 1985 Rusça baskısından çevrilmiştir (Kharkov, Ukrayna). Birkhäuser Verlag. 1988.
• George W. Mackey, Simetrinin kullanılması olarak harmonik analiz – tarihsel bir araştırma, Bull. Amr. Matematik. Sos. 3 (1980), 543–698.
• M. Bujosa, A. Bujosa ve A. Garcıa-Ferrer. Doğrusal Stokastik Fark Denklemlerinin Sözde Spektrumları için Matematiksel Çerçeve, Sinyal İşleme Üzerine IEEE İşlemleri cilt. 63 (2015), 6498-6509.