Симетрична різниця Формула A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) = { x | x ∈ A ∨ ˙ x ∈ B } {\displaystyle \displaystyle A\mathbin {\vartriangle } B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=\{x|x\in A\mathbin {\dot {\lor }} x\in B\}} Позначення у формулі △ {\displaystyle \mathbin {\vartriangle } } , ∖ {\displaystyle \setminus } , A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} і ∨ ˙ {\displaystyle \mathbin {\dot {\lor }} } Нотація ⊖[d] [1] Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика Симетрична різниця у Вікісховищі
Симетрична різниця двох множин — теоретико-множинна операція, результатом якої є нова множина, що включає всі елементи вихідних множин, які не належать одночасно обом вихідним множинам. Іншими словами, якщо є дві множини A і B, їх симетрична різниця є об'єднання елементів A, що не входять в B, з елементами B не членами A. На письмі для позначення симетричної різниці множин A і B використовується позначення A △ B.
В математиці та теорії множин , симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.
Симетричну різницю можна визначити двома способами:
симетрична різниця двох заданих множин А та В — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи першої множини, які не входять в другу множину, а, також ті елементи другої множини, які не входять в першу множину: ( A △ B ) = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) {\displaystyle (A\triangle B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)} симетрична різниця двох заданих множин A і B — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи обох множин, які не є загальними для двох заданих множин. ( A △ B ) = ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B ) {\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)} Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані ; Симетрична різниця є комутативною : A △ B = B △ A ; {\displaystyle A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;} Симетрична різниця є асоціативною : ( A △ B ) △ C = A △ ( B △ C ) ; {\displaystyle \left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);} Перетин множин є дистрибутивним відносно симетричної різниці: A ∩ ( B △ C ) = ( A ∩ B ) △ ( A ∩ C ) ; {\displaystyle A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);} Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці: A △ ∅ = A ; {\displaystyle A\bigtriangleup \varnothing =A;} Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці: A △ A = ∅ ; {\displaystyle A\bigtriangleup A=\varnothing ;} Булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою ; ( A 1 ∩ A 2 ) △ ( B 1 ∩ B 2 ) ⊂ ( A 1 △ B 1 ) ∪ ( A 2 △ B 2 ) ; {\displaystyle \left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);} ( A 1 ∪ A 2 ) △ ( B 1 ∪ B 2 ) ⊂ ( A 1 △ B 1 ) ∪ ( A 2 △ B 2 ) ; {\displaystyle \left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);} ( A 1 ∖ A 2 ) △ ( B 1 ∖ B 2 ) ⊂ ( A 1 △ B 1 ) ∪ ( A 2 △ B 2 ) ; {\displaystyle \left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);} Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин ( A △ B ) ∪ ( A ∩ B ) = A ∪ B {\displaystyle (A\bigtriangleup B)\cup (A\cap B)=A\cup B} ; Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок: A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) {\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}
( A △ B ) = ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B ) {\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}
Діаграма Венна для симетричної різниці A ΔB 1. Нехай
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } . {\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.} Тоді
A △ B = { 1 , 2 , 6 , 7 } . {\displaystyle A\,\triangle \,B=\{1,2,6,7\}.} 2. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх осіб жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.