Теорема Мікеля

Теорема Мікеля — твердження в планіметрії, пов'язане з перетином трьох кіл, кожне з яких проходить через вершину трикутника і дві точки на прилеглих до неї сторонах. Названо на честь французького математика Огюста Мікеля^[fr][1]. Ця теорема — один з декількох отриманих Мікелем результатів, що стосуються кіл у геометрії, і опублікованих ним у Journal de mathématiques pures et appliquées^[en].

Нехай ${\displaystyle ABC}$ — трикутник із довільними точками ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ і ${\displaystyle C'}$ на сторонах ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ і ${\displaystyle AB}$ відповідно (або на їх продовженнях). Опишемо три кола навколо трикутників ${\displaystyle AB'C'}$, ${\displaystyle A'BC'}$, і ${\displaystyle A'B'C.}$ Теорема Мікеля стверджує, що ці три кола перетнуться в одній точці ${\displaystyle M}$, яку називають точкою Мікеля. Окрім того, рівні будуть також кути ${\displaystyle \angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A}$ (позначені на малюнку).^[2][3]

Якщо точка Мікеля — центр описаного кола трикутника, а діаметри трьох кіл Мікеля дорівнюють радіусу описаного кола трикутника, і кожне з трьох кіл Мікеля проходить через спільну для них точку — центр описаного кола, а також через дві проєкції цього центра на сторони трикутника і через одну з трьох вершин, тоді радіуси трьох кіл Мікеля однакові.

• Точка Мікеля^[ru] — інший результат Мікеля

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, т. 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
• Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (вид. 5th), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005