Тетрація

Тетрація (суперстепінь, гіпер-4) — ітераційна операція піднесення до степеня; гіпероператор наступний після піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел.

Термін тетрація, складається зі слів тетра- (чотири) та ітерація, був вперше застосований англійським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році

Тетрація є четвертою по рахунку гіпероперацією.

1. додавання:

   ${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$

2. множення:

   ${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$

3. піднесення до степеня:

   ${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$

4. тетрація:

   ${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$

5. пентація:

   ${\displaystyle {_{n}a}=\underbrace {^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }a}a} _{n}}$

Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.

• На відміну від попередніх трьох гіпероперацій, тетрація не має аналітичного продовження на комплексні числа.
• Тетрація не вважається елементарною функцією.
• Тетрація некомутативна, як і піднесення до степеня, тому також має дві обернених операції — суперкорінь та суперлогарифм.
• Тетрація неасоціативна:

${\displaystyle ^{4}2=2^{{\Big (}2^{\left(2^{2}\right)}{\Big )}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}}$

	Термін
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$	Тетрація
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$	Ітеративна експонента
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}$	Вкладена експонента (вежа)
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$	Нескінченна експонента (вежа)

Система	Позначення	Пояснення
Стандартний запис	${\displaystyle \,{}^{n}a}$
Ітеративна експонента	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(1)}$
Гіпероператор	${\displaystyle a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)}$
Нотація Кнута	${\displaystyle ~a{\uparrow \uparrow }n}$	стрілка Кнута
Нотація Конвея	${\displaystyle ~a\rightarrow n\rightarrow 2}$	ланцюжок Конвея
Функція Акермана	${\displaystyle ^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}$	тільки для випадку a = 2
ASCII запис	a^^n	варіант стрілки Кнута

Тетрацію при показникові прямуючому до нескінченності обчислюють як границю.

Наприклад, границя ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ рівна 2.

Це можна узагальнити аж на комплексні числа:

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}}$

де W(z) — W-функція Ламберта.

Оберненими функціями до тетрації є суперкорінь та суперлогарифм. Квадратний суперкорінь ${\displaystyle ~\mathrm {ssrt} (x)}$ є оберненою функцією до ${\displaystyle x^{x}}$ :

${\displaystyle \mathrm {ssqrt} (x)=e^{W(\mathrm {ln} (x))}={\frac {\mathrm {ln} (x)}{W(\mathrm {ln} (x))}}}$

Для натуральних чисел n > 2, функція ⁿx визначена та зростаюча при x ≥ 1, тому n-ий суперкорінь існує при x ≥ 1.

Тетрація ^xa неперервно зростає по x, тому суперлогарифм визначений для всіх дійсних x при a > 1.

${\displaystyle ~\mathrm {slog} _{a}{^{x}a}=x}$

${\displaystyle ~\mathrm {slog} _{a}a^{x}=1+\mathrm {slog} _{a}x}$

${\displaystyle ~\mathrm {slog} _{a}x=1+\mathrm {slog} _{a}\log _{a}x}$

${\displaystyle ~\mathrm {slog} _{a}x>-2}$

• Теорема Гудштейна

• Home of Tetration^{[недоступне посилання з липня 2019]}