中心 (群论) 在抽象代数中,群 G {\displaystyle G} 的中心 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是所有在 G {\displaystyle G} 中和 G {\displaystyle G} 的所有元素可交换的元素的集合,也就是: Z ( G ) = { z ∈ G ∣ g z = z g , ∀ g ∈ G } {\displaystyle Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\}} 注意 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是一个 G {\displaystyle G} 的子群:若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 在 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 中,则 ( x y ) g = x ( y g ) = ( x g ) y = x ( g y ) = ( g x ) y = g ( x y ) ∀ g ∈ G {\displaystyle \left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad \forall g\in G} ,故 x y {\displaystyle xy} 也在 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 中。同样的论证对于逆操作也成立。 而且, Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是一个 G {\displaystyle G} 的可交换子群,也是 G {\displaystyle G} 的正规子群,甚至是 G {\displaystyle G} 的严格特征子群,但不总是完全特征的。 G {\displaystyle G} 的中心是整个 G {\displaystyle G} 当且仅当 G {\displaystyle G} 是可交换群。另一个极端是,若 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是平凡群,群可以是无中心的。 考虑映射 Φ : G → Aut ( G ) {\displaystyle \Phi :G\rightarrow \operatorname {Aut} \left(G\right)} ,这是到 G {\displaystyle G} 的自同构群的映射,定义为: G {\displaystyle G} 中每个元素 G {\displaystyle G} 在 Φ {\displaystyle \Phi } 下的像是自同构 h ⟼ g h g − 1 {\displaystyle h\longmapsto ghg^{-1}} 。 Φ {\displaystyle \Phi } 的核是 G {\displaystyle G} 的中心,而 Φ {\displaystyle \Phi } 的像称为 G {\displaystyle G} 的内自同构群,记为 Inn ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} \left(G\right)} ,按照第一同构定理: G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) {\displaystyle G/Z\left(G\right)\cong \operatorname {Inn} \left(G\right)} 。 例子[编辑] 阿贝尔群G的中心即为其自身G。 正交群 O ( n ) {\displaystyle O\left(n\right)} 的中心是 { I , − I } {\displaystyle \left\{I,-I\right\}} 。 参见[编辑] 中心 (代数) 中心化子和正规化子 共轭类 查论编抽象代数相关主题代数结构 · 群 · 环 · 域 · 有限域 · 本原元 · 格 · 逆元 · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构(商系统) · 同构基本定理 · 自由對象群论群幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 · 单群 · 半单群 · 典型群 · 自由群 · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 · 商群 · 置换群 · 有限生成阿貝爾群子群陪集 · 交换子群(交換子) · 双陪集 · 共轭类 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群群同態群同構 · 群同態相關定理拉格朗日定理 · 西羅定理 · 波利亞計數定理其他阶 · 群擴張 · 群表示 · 群作用 · 合成列環論环子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 · 素环 · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環模深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模其他幂零元 · 特征 · 完備化 · 環的局部化域論域有限域 · 原根 · 代数闭域 · 局部域 · 分裂域 · 分式環域扩张单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理