代數曲線

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$上由一個齊次多項式${\displaystyle f(X,Y)}$定義的零點。

定義在域${\displaystyle F}$上的仿射代數曲線可以看作是${\displaystyle F^{n}}$中由若干個${\displaystyle n}$-元多項式${\displaystyle g_{i}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$定義的公共零點，使得其维数為一。

利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線${\displaystyle f(x,y)=0}$，其中${\displaystyle f\in F[x,y]}$，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。

射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程${\displaystyle g_{i}=0}$（${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$）中，我們作代換：

${\displaystyle g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\longrightarrow (X_{0})^{\deg g_{i}}g_{i}\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}$

遂得到${\displaystyle n-1}$個齊次多項式，它們在射影空間${\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{n}}$中定義一條曲線，此射影曲線與開集${\displaystyle U_{0}:=\{(X_{0}:\cdots :X_{n})|X_{0}\neq 0\}}$的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{3}}$中的費馬曲線${\displaystyle X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0}$，其上的有理點對應到費馬方程${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}}$的互素整數解。

代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究，後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域${\displaystyle F}$上的函數域${\displaystyle K}$是超越次數為一的有限型域擴張，換言之：存在元素${\displaystyle x\in K}$使得${\displaystyle x}$在${\displaystyle F}$上超越，而且${\displaystyle K/F(x)}$是有限擴張。

以複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$為例，我們可以定義複係數有理函數域${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$。變元${\displaystyle x,y}$對代數關係${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x-1}$生成的域${\displaystyle \mathbb {C} (x,y)}$是一個橢圓函數域，代數曲線${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1\}}$ 給出它的一個幾何模型。

若基域${\displaystyle F}$非代數封閉域，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域${\displaystyle F:=\mathbb {R} }$並考慮其上的代數曲線${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}$，此方程定義了一個${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而

${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset }$

代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。

複射影曲線可以嵌入${\displaystyle n}$維複射影空間${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊黎曼曲面，即一維的緊複流形，因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格。視這類曲線為黎曼曲面，則可以採複分析手法加以研究。另一方面，黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。

於是我們有三個相互等價的範疇：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與${\displaystyle \mathbb {C} }$上的函數域。因此一維複分析（包括位勢論）、代數幾何與域論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。

曲線在一點${\displaystyle P}$的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$中的曲線：設該曲線由${\displaystyle n-1}$個${\displaystyle n+1}$個變元的齊次多項式${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}}$定義，若其雅可比矩陣${\displaystyle \left({\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j}}$在區線上一點${\displaystyle P}$滿秩，則稱它${\displaystyle P}$點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}}$的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子，假設曲線${\displaystyle C}$由齊次方程式${\displaystyle f(x,y,z)=0}$定義，則${\displaystyle C}$的奇點恰為${\displaystyle C}$上使得${\displaystyle \nabla f}$為零的點，即：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)}$

在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變量。

曲線的奇點包括多重點（這是曲線的自交點）及尖點（如仿射曲線${\displaystyle x^{3}=y^{2}}$之於原點${\displaystyle (0,0)}$，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線${\displaystyle f(x,y)=0}$在一點${\displaystyle P}$的奇點性質可以透過下述方式理解：

透過平移，不妨假設${\displaystyle P=(0,0)}$。將多項式${\displaystyle f(x,y)}$寫成

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n\geq 1}f_{n}(x,y)}$

其中${\displaystyle f_{n}(x,y)}$是${\displaystyle n}$次齊次多項式。直觀地想像，${\displaystyle f(x,y)=0}$在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為${\displaystyle f_{m}(x,y)}$。根據齊次性可以將之分解成

${\displaystyle f_{m}(x,y)=\prod _{i=1}^{m}(a_{i}x-b_{i}y)}$

換言之，曲線在原點附近將近似於${\displaystyle m}$條（含重複）直線${\displaystyle a_{i}x-b_{i}y=0}$的聯集。上式中相異的直線數${\displaystyle r}$稱作分支數，正整數${\displaystyle m}$稱作平面曲線在該點的重數，此外還有一個內在的不變量${\displaystyle \delta _{P}:=\dim {\mathcal {O}}_{{\tilde {C}},P}/{\mathcal {O}}_{C,P}}$，其中${\displaystyle {\tilde {C}}\rightarrow C}$是該曲線的正規化態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如一般尖點對應到${\displaystyle [2,1,1]}$，一般雙重點對應到${\displaystyle [2,1,2]}$，而一般n重點則對應到${\displaystyle [n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]}$。

各奇點的不變量δ_P決定平面曲線${\displaystyle f(x,y)=0}$的虧格：設${\displaystyle \deg f=d}$，則有

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}$

對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為Milnor數：同樣假設${\displaystyle P=(0,0)}$，在原點附近夠小的四維球${\displaystyle B_{\epsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}}$內有${\displaystyle (x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0}$，此時有連續映射

${\displaystyle \nabla f(x,y):B_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B_{\epsilon }-\{(0,0)\}}$

由於${\displaystyle B_{\epsilon }-\{(0,0)\}}$ 同倫等價於三維球面${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$，於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明：

${\displaystyle \mu =2\delta -r+1}$

事實上，${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}}$在ε夠小時是${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong \mathbb {S} ^{3}}$中的一個環圈，稱作奇點環圈，它具有複雜的拓撲性質。例如：${\displaystyle x^{3}=y^{2}}$在尖點附近的奇點環圈是三葉結。

域${\displaystyle F}$上的有理曲線是雙有理等價於射影直線${\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{1}}$的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域${\displaystyle F(t)}$。當${\displaystyle F}$代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}$給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。

具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線。

任何${\displaystyle F}$上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點${\displaystyle P}$而斜率為${\displaystyle t}$的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就x坐標來說，交點的x坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於${\displaystyle F}$的根已知，即${\displaystyle P}$的x坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於${\displaystyle F}$，而且能表作${\displaystyle t}$在${\displaystyle F}$上的有理函數。y坐標的作法相同。

例。考慮斜橢圓${\displaystyle E:x^{2}+xy+y^{2}=1}$，其中${\displaystyle (-1,0)}$是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線${\displaystyle y=t(x+1)}$，並帶入E的等式，於是得到：

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}}$。

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}}$

這就給出E的有理參數化，於是證明了E是有理曲線。

將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線

${\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!}$

以上參數化遂表為

${\displaystyle X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!}$

若取${\displaystyle t}$為整數，對應的${\displaystyle X,Y,Z}$是不定方程${\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}}$的整數解；若將${\displaystyle X}$代以${\displaystyle -X}$，則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理，藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形，例如取${\displaystyle t=2}$，就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。

橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯形式：

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.\,\!}$

橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$，其中的${\displaystyle \Lambda }$由相應的橢圓函數給出。

對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據法爾廷斯定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線（英语：Hyperelliptic curve）、克萊因四次曲線（英语：Klein quartic）與一開始提到的費馬曲線（英语：Fermat curve）在${\displaystyle n\geq 4}$的情形。

• Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
• Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980
• Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
• Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
• John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
• George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
• Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988