平移

  本文介绍欧几里得空间中的“平移”，不是平移运动、平行移动。

在仿射幾何，平移（translation）是將物件的每點向同一方向移動相同距離。

它是等距同構，是仿射空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若${\displaystyle \mathbf {v} }$是一個已知的向量，${\displaystyle \mathbf {p} }$是空間中一點，平移${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$。

將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(T_{\mathbf {u} }(\mathbf {p} ))=T_{\mathbf {v} +\mathbf {u} }(\mathbf {p} )}$，因此所有平移的集是一個群，稱為平移群。這個群和空間同構，又是歐幾里德群E(n)的正规子群。

T對E的商群與正交群O(n)同構：E(n) / T = O(n)。

例如在三維空間，使用齐次坐标，${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$可用矩陣表示為

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$。

平移的結果${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )}$就是

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}}$。

平移的逆矩陣：${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }}$。兩個平移矩陣的積就是兩次平移的結果：${\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }}$。因為向量加法符合交換律，所以平移群不像一般矩陣乘法，平移矩陣乘法是可交換的。

• 平移運動
• 平移對稱
• 變換矩陣
• 反射
• 旋转
• 反演
• 点反演
• 缩放

• Translation Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Math Is Fun
• Understanding 2D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Understanding 3D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.