標準差

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標準差，又稱標準偏差、均方差 （英語：standard deviation，縮寫SD，符號σ），在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義：為方差開算术平方根，反映组内個體間的離散程度；標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：

1. 為非負數值（因為平方後再做平方根）；
2. 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。

簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差${\displaystyle k}$个标准差”，即在 ${\displaystyle {\overline {X}}\pm kS}$ 的样本（sample）范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$

${\displaystyle \mu }$为平均值。

上述公式可以如下代換而簡化：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}^{2}-2X_{i}\mu +\mu ^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-\left(2\mu \sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2\mu (N\mu )+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2N\mu ^{2}+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-N\mu ^{2}\end{aligned}}}$

所以：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{N}}N\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}}{N}}-\mu ^{2}}}\end{aligned}}}$

根號裡面，亦即變異數（${\displaystyle \sigma ^{2}}$）的簡易口訣為：「平方的平均」減去「平均的平方」。

一隨機變量${\displaystyle X}$的標準差定義為：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}}$

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量${\displaystyle X}$為${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

若${\displaystyle X}$是由實數${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$構成的離散隨機變數（英語：discrete random variable），且每個值的機率相等，則${\displaystyle X}$的標準差定義為：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}}}$　，其中　${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})}$

換成用${\displaystyle \sum }$來寫，就成為：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$　，其中　${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})}$

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個${\displaystyle x_{i}}$可以有不同機率${\displaystyle p_{i}}$，則${\displaystyle X}$的标准差定義為：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$　，其中　${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.}$

这里，${\displaystyle \mu }$为${\displaystyle X}$的数学期望。

若${\displaystyle X}$為概率密度${\displaystyle p(X)}$的连续随机变量（英語：continuous random variable），則${\displaystyle X}$的标准差定義為：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx}}}$

其中${\displaystyle \mu }$为${\displaystyle X}$的数学期望：

${\displaystyle \mu =\int x\,f(x)\,dx}$

对于常数${\displaystyle c}$和随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$：

${\displaystyle \sigma (X+c)=\sigma (X)}$

${\displaystyle \sigma (cX)=c\cdot \sigma (X)}$

${\displaystyle \sigma (X+Y)={\sqrt {\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y)+2\cdot {\mbox{cov}}(X,Y)}}}$

其中：

• ${\displaystyle {\mbox{cov}}(X,Y)}$表示随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的协方差。
• ${\displaystyle \sigma ^{2}(X)}$表示${\displaystyle [\sigma (X)]^{2}}$，即${\displaystyle Var(X)}$（${\displaystyle X}$的變異數），對${\displaystyle Y}$亦同。

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}}$當中取出一樣本數值組合${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}:n<N}$，常定義其樣本標準差：

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

样本方差${\displaystyle s^{2}}$是对总体方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$的无偏估计。之所以${\displaystyle s}$中的分母要用${\displaystyle n-1}$而不是像总体样本差那样用${\displaystyle n}$，是因为${\displaystyle \left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}$的自由度为${\displaystyle n-1}$，这是由于存在约束条件${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0}$。

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{5, 6, 8, 9}：

• 第一步，計算平均值${\displaystyle {\overline {x}}}$︰

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$

當${\displaystyle {\begin{smallmatrix}N=4\end{smallmatrix}}}$（因為集合裏有4個數），分別設為：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=5,\\x_{2}&=6,\\x_{3}&=8,\\x_{4}&=9,\end{aligned}}}$

則平均值為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}x_{i}&(N=4)\\&={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)\\&=7.\end{aligned}}}$

• 第二步，計算標準差${\displaystyle \sigma \,}$︰

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}&(N=4)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}&({\overline {x}}=7)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(x_{1}-7)^{2}+(x_{2}-7)^{2}+(x_{3}-7)^{2}+(x_{4}-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}\\&={\sqrt {\frac {10}{4}}}\\&\approx 1.58114\,.\end{aligned}}}$

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$

${\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle {\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$.^[1]

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}}$為實數，定義函数：

${\displaystyle \sigma (\mu )={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$

使用微積分或者通过配方法，不難算出${\displaystyle \sigma (\mu )}$在下面情況下具有唯一最小值：

${\displaystyle \mu ={\overline {x}}}$

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从${\displaystyle n}$维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$。它们可以在3维空间中确定一个点${\displaystyle P=(X_{1},X_{2},X_{3})}$。想像一条通过原点的直线${\displaystyle L={(r,r,r):r\in \mathbb {R} }}$。如果这组数据中的3个值都相等，则点${\displaystyle P}$就是直线${\displaystyle L}$上的一个点，${\displaystyle P}$到${\displaystyle L}$的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点${\displaystyle P}$作垂线${\displaystyle PR}$垂直于${\displaystyle L}$，${\displaystyle PR}$交${\displaystyle L}$于点${\displaystyle R}$，则${\displaystyle R}$的坐标为这3个值的平均数：

${\displaystyle R=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})}$

运用一些代数知识，不难发现点${\displaystyle P}$与点${\displaystyle R}$之间的距离（也就是点${\displaystyle P}$到直线${\displaystyle L}$的距离）是${\displaystyle \sigma {\sqrt {3}}}$。在${\displaystyle n}$维空间中，这个规律同样适用，把${\displaystyle 3}$换成${\displaystyle n}$就可以了。

• Standard Deviation Calculator，标准差计算器 （英文）