范数

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範數（英語：Norm），是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面，半範數（英語：seminorm）可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

假設V是域F上的向量空間；V的半範數是一個函數${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)}$，满足：

${\displaystyle \forall a\in F,\forall u,v\in V}$,

1. ${\displaystyle p(v)\geq 0}$（具有半正定性）
2. ${\displaystyle p(av)=|a|p(v)}$（具有绝对一次齐次性）
3. ${\displaystyle p(u+v)\leq p(u)+p(v)}$ （满足三角不等式，或称次可加性）

範數是一個半範數加上額外性质：

4. ${\displaystyle p(v)=0}$,当且仅当${\displaystyle v}$是零向量（正定性）

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

• 所有范数都是半范数。
• 平凡半范数，即${\displaystyle p(x)=0,\forall x\in V}$。
• 绝对值是实数集上的一个范数。
• 对向量空间上的次线性型f可定义一个半范数：${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\to |f({\boldsymbol {x}})|}$。

绝对值范数為

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|}$

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

在n维欧几里德空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上，向量${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n})^{\mathrm {T} }}$的最符合直觉的长度由以下公式给出

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

根据勾股定理，它给出了从原点到点${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$之间的（通常意义下的）距离。欧几里德范数是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上最常用的范数，但正如下面举出的，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$中，最常见的范数是：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},}$

其中x是一个列向量(${\displaystyle [x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n}]^{\mathrm {T} }}$)，而${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{*}}$表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$

特别地，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。

如果将复平面看作欧几里得平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把${\displaystyle x+i\,y}$视为欧几里得平面上的一个向量，由此，这个向量的欧几里得范数即为${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$（最初由欧拉提出）。

• 內積
• 賦範向量空間
• 矩陣範數
• 曼哈頓距離
• Lp范数