矩阵分析(英语:matrix analysis) 是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算(加法、矩阵乘法等)、矩阵函数、矩阵的特征值(特征值分解)等。
矩阵空间[编辑]
数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 Mmn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当
或
时,空间 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致,例如 M32(F) ≠ M23(F)。
两个 m×n 的矩阵 A 和 B 在空间 Mmn(F) 相加可以得到空间 Mmn(F) 下的一个新矩阵:
![{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b748c07314d437954a7a35351ec7ef2e8eabdf)
与数域 F 中的数 α 相乘,也可以得到空间 Mmn(F) 下的矩阵:
![{\displaystyle \alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a708240c421e410ca2a9b37808f672f3e422310)
以上两条性质可以总结为:在矩阵空间 Mmn(F) 下的两个矩阵 A 和 B 线性组合可以得到空间 Mmn(F) 下的一个新矩阵:
![{\displaystyle \alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f5ee923dab86a9757efb488815ea62d4a6a5f6)
其中 α 和 β 是数域 F 中的数。
所有矩阵都可以表示为基矩阵的线性组合,这些基矩阵起到类似于基向量的作用。例如,对于实数域下的 2×2 矩阵空间 M22(ℝ),一组可行的基矩阵可以是:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2970980de46dea1440d78e87300324b422e7f653)
因为所有的 2×2 矩阵均可以表示为:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b10a0e3cb60c148ae5eb4b1bd2741c298c63ec)
其中 a, b, c,d 均为实数。这个思路也可以推广到高维矩阵空间下。
行列式[编辑]
行列式是方阵的重要性质之一,它可以指示一个矩阵是否可逆。矩阵的行列式被用于计算特征值、求解线性方程组等方面。
矩阵的特征值和特征向量[编辑]
一个
矩阵的特征值
和特征向量
定义为:
也就是说,一个矩阵乘以它的特征向量相当于它的特征值乘以特征向量。一个
的矩阵有 n 个特征值,它们是矩阵特征多项式的根:
其中
为
的单位矩阵。
相似矩阵[编辑]
如果两个
的矩阵
和
可以用相似变换联系起来,则两个矩阵相似:
可逆矩阵
被称为相似变换矩阵。
酉相似[编辑]