離散正弦變換(DST for Discrete Sine Transform)是一種與傅立葉變換相關的變換,類似離散傅立葉變換,但是只用實數矩陣。離散正弦變換相當於長度約為它兩倍,一個實數且奇對稱輸入資料的的離散傅立葉變換的虛數部分(因為一個實奇輸入的傅立葉變換為純虛數奇對稱輸出)。有些變型裡將輸入或輸出移動半個取樣。
一種相關的變換是離散餘弦變換,相當於長度約為它兩倍,實偶函数的離散傅立葉變換。參考DCT本文有關邊界條件和不同的DCT和DST關聯的一般討論。
離散正弦變換常被用來由譜方法解偏微分方程,這時候離散正弦變換的不同的變數對應著兩端不同的奇/偶邊界條件。
形式上,離散正弦變換是一個線性的可逆函數
,其中R為實數集,或等價的說是一個
方陣。離散正弦變換有幾種稍微不同定義的變形,皆根據以下公式之一把
個實數
變換到另
個實數
。
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbaf9d8750d87d0c1565cc7d4953c99d6eaf57e)
一個DST-I矩陣為正交矩陣(差一個係數)。
的實數abc的DST-I變換等價於8點實數0abc0(-c)(-b)(-a)(奇對稱)的DFT轉換,再除2(而DST-II~DST-IV等價於DFT有半個取樣的位移)。
因而DST-I對應的邊界條件是:
對
奇對稱,也對
奇對稱;
也類似。
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec4a97c9d25b6266d25cd0d66623125a8732469)
![{\displaystyle X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf69b9150d88dbb7ad408958aefaa7b3338ca50)
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d240979de077d6ef8b3b352dd1b2da2158fd1c88)
一個DST-IV矩陣為正交矩陣(差一個係數)。
DST-I的反變換是把DST-I乘以
。 DST-IV的反變換是把DST-IV乘以
。 DST-II的反變換是把DST-III乘以
,反之亦然。
類似離散傅立葉變換,這些定義前面的歸一係數只是習慣,不同人有不同定義。例如有人在變換前面乘
,使反變換和變換在形式上更相似,而不需另外的歸一係數。
- S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
- Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ (页面存档备份,存于互联网档案馆). A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).