运算

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在数学中，一个 运算 被定义为一个将一个或更多个输入值（或称 “运算数” 或 “参数”）对应到一个两定义的输出值的函数。这些运算数的个数被称为该运算的元数。

研究中最常见的运算是二元运算（也就是元数为 2 的运算）如加法、乘法，还有一元运算（也就是元数为 1 的运算）如加法逆、乘法逆。而一个操作数为零的运算，或者说一个零元运算（英语：nullary operation），是一个常数，这种运算在计算机科学中比较常见一些。^[1][2]混合积是一个三元运算（英语：ternary_operation）的例子。

通常而言一个运算的输入值是有限的，但有时也应当考虑无穷元运算（英语：finitary operations）^[1]，这时，“通常的”输入值有限的运算就被归类为有限元运算了。

有两类常见的运算，一元和二元运算。其中，一元运算仅涉及一个输入值，比如逻辑非或者三角函数等。^[3]而对于以加、减、乘、除以及幂为例的二元运算，则需要两个输入值^[4]。

除却数字，运算也允许涉及其他数学对象。比如逻辑真值 “真” 和 “假” 就可以通过 “与”、“或”、“非” 这些逻辑运算符连接并参与运算，其中 “与” 和 “或” 为二元运算，而“非”为一元运算；向量可以进行加减；^[5] 转动可以通过函数复合进行运算，运算结果是先进行前一个旋转，接着进行后一个旋转的复合旋转。集合上的运算包括二元的交、并运算^[6][7][8]；函数之间的运算有函数复合、卷积等^[9][10]。

作为一个函数，运算并不总对其域上的所有元定义良好。例如实数上对零做除法^[11]或者对负数开平方根就是不被允许的。所有能被运算的值构成一集合，记为该运算的定义域。对于整个定义域上的值，包含该运算作为函数导出的所有值的集合称作该运算的上域，而所有导出值本身构成的集合，称运算的像或者值域^[12]。例如前文所述的实数平方根，其定义域即 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$，值域也是 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$，上域则是任意一个含有值域的集，此处可以为 ${\displaystyle \mathbb {R} }$；而实数的除法运算，定义域为 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\neq 0}}$，值域为 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0}}$。

此外，多元的运算可以涉及并不相似的元素：向量能够与标量进行数乘运算并得到另一个向量^[13]；两个向量可以进行内积运算并最后得到一个标量^[14][15]。一个运算有时也会被赋予一些额外属性如结合律、交换律、反交换律、幂等等。

这些参与运算的值被称作 “参数” 或 “输入”，而得到的值被称作 “值”、“结果” 或 “输出”。运算的元数可以是从 2 到 ${\displaystyle \infty }$ 之间的任何整值^[1]。

算符 与运算近似，指的是运算所使用的符号和过程，因而二者并不完全等同。“加法运算”常侧重于输入和输出两端，而“加法算符”（粗略而言，“加号”）则更聚焦于过程，以一种更形式化的说法，即映射 ${\displaystyle +\colon X\times X\to X}$。

一个从 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ 到 ${\displaystyle Y}$的 ${\displaystyle n}$ 元运算 ${\displaystyle \omega }$ 被认定为映射

${\displaystyle \omega \colon X_{1}\times \cdots \times X_{n}\to Y.}$

其中，集合 ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ 称作运算的域，${\displaystyle Y}$称作运算的上域，非负整数 ${\displaystyle n}$称作运算的元数。特别地，零元运算仅是上域 ${\displaystyle Y}$上的一个单一元素。值得指出，${\displaystyle n}$元运算完全允许视作 ${\displaystyle (n+1)}$元关系，该关系对运算的域为全域的，对运算的上域则是唯一的。

一个从 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ 到 ${\displaystyle Y}$的 ${\displaystyle n}$ 元部分运算，其上域为 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ 的任意子集。

以上叙述常称作 有限关系，参数有限。显然存在扩张，将元数认定为一个无穷序数或者无穷基数，甚至是以任意集作为参数的指标集。

通常情况下，使用”运算“这个词暗含了域是上域的幂这个条件（即上域和自身的一个或更多副本的笛卡儿积）^[16]，这一性质并不绝对，就像内积运算，并不符合该描述：将两个向量点乘，结果是一个标量。一个 ${\displaystyle n}$元运算 ${\displaystyle \omega \colon X^{n}\to X}$ 被称作内部运算；一个 ${\displaystyle n}$元运算 ${\displaystyle \omega \colon X^{i}\times S\times X^{n-i-1}\to X}$，其中${\displaystyle 0\leq i<n}$，被称作由标量集或者算子集 ${\displaystyle S}$ 构造的 外部运算。特别地，二元运算 ${\displaystyle \omega \colon S\times X\to X}$ 称作由 ${\displaystyle S}$ 决定的 左外部运算，相应地 ${\displaystyle \omega \colon X\times S\to X}$ 称作由 ${\displaystyle S}$ 决定的 右外部运算。

一个 ${\displaystyle n}$ 元多值函数 或者 多值运算 ${\displaystyle \omega }$ 是一个从其笛卡儿积到其幂集的形如 ${\displaystyle \omega \colon X^{n}\to {\mathcal {P}}(X)}$的映射^[17]。

• 有限元关系（英语：finitary relation）
• 超运算
• 中缀表示法
• 算子
• 操作数

1. ^ ^{1.0 1.1 1.2} Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2019-12-10]. 
2. ^ DeMeo, William. Universal Algebra Notes (PDF). math.hawaii.edu. August 26, 2010 [2019-12-09]. （原始内容 (PDF)存档于2021-05-19）. 
3. ^ 埃里克·韦斯坦因. Unary Operation. MathWorld. 
4. ^ 埃里克·韦斯坦因. Binary Operation. MathWorld. 
5. ^ 埃里克·韦斯坦因. Vector. MathWorld.  ”向量能被加到一起（向量加法）、相减（向量减法）……“
6. ^ Weisstein, Eric W. Union. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英语）. 
7. ^ Weisstein, Eric W. Intersection. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英语）. 
8. ^ Weisstein, Eric W. Complementation. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英语）. 
9. ^ Weisstein, Eric W. Composition. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英语）. 
10. ^ Weisstein, Eric W. Convolution. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英语）. 
11. ^ Weisstein, Eric W. Division by Zero. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英语）. 
12. ^ 埃里克·韦斯坦因. Coomain. MathWorld. 
13. ^ Weisstein, Eric W. Scalar Multiplication. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英语）. 
14. ^ Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. Functional Analysis. New Age International. 1995. ISBN 978-81-224-0801-0 （英语）. 
15. ^ Weisstein, Eric W. Inner Product. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英语）. 
16. ^ Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. Chapter II, Definition 1.1. A Course in Universal Algebra. Springer. 1981. 
17. ^ Brunner, J.; Drescher, Th.; Pöschel, R.; Seidel, H. Power algebras: clones and relations (PDF). EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik). Jan 1993, 29: 293–302 [2022-10-25].