限制 (數學)

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在数学中，映射的限制 ${\displaystyle f}$ 是一个新的映射，记作 ${\displaystyle f\vert _{A}}$ 或者 ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}}$ ，它是通过为原来的映射 ${\displaystyle f}$ 选择一个更小的定义域 ${\displaystyle A}$ 来得到的。反过来，也称映射 ${\displaystyle f}$ 是映射 ${\displaystyle f\vert _{A}}$ 的扩张。

设 ${\displaystyle f:E\to F}$ 是一个集合 ${\displaystyle E}$ 到集合 ${\displaystyle F}$ 的映射。如果 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle E}$ 的子集，那么称满足$${\displaystyle \forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)}$$的映射^[1] $${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$ 是映射 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上的限制。不正式地说， ${\displaystyle {f|}_{A}}$ 是和 ${\displaystyle f}$ 相同的映射，但只定义在 ${\displaystyle A}$ 上。

如果将映射 ${\displaystyle f}$ 看作一种在笛卡尔积 ${\displaystyle E\times F}$ 上的关系 ${\displaystyle (x,f(x))}$ ，然后 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上的限制可以用它的图像来表示：

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

其中 ${\displaystyle (x,f(x))}$ 表示图像 ${\displaystyle G}$ 中的有序对。

映射 ${\displaystyle F}$ 称为另一映射的 ${\displaystyle f}$ 的扩张，当且仅当 ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f}$ 。也就是说同时满足下面两个条件：

1. 属于 ${\displaystyle f}$ 之定义域的 ${\displaystyle x}$ 必然也在 ${\displaystyle F}$ 的定义域中，即 ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)}$ ；
2. ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle F}$ 在它们共同的定义域上的行为相同，即${\displaystyle \forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)}$ 。

数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质，但扩张后。如寻找一个线性映射 ${\displaystyle f}$ 的扩张映射 ${\displaystyle F}$ ，且 ${\displaystyle F}$ 仍是线性的，这时说 ${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的一个线性扩张，或者说；寻找一个连续映射 ${\displaystyle f}$ 的扩张映射 ${\displaystyle F}$ ，且 ${\displaystyle F}$ 仍连续，则称为进行了连续扩张；诸如此类。

具有特定性质的扩张可能是唯一的，这时则不必给出扩张映射 ${\displaystyle F}$ 的详细定义，如稠密子集到豪斯多夫空间的映射的连续扩张。

1. 非单射函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}}$ 在域${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ 上的限制是${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ，而这是一个单射。
2. 将Γ函数限制在正整数集上，并将变量平移 ${\displaystyle 1}$ ，就得到阶乘函数： ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$ 。

• 映射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 在其整个定义域 ${\displaystyle X}$ 上的限制即是原函数，即 ${\displaystyle f|_{X}=f}$ 。
• 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若 ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)}$ ，则 ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}}$ 。
• 集合 ${\displaystyle X}$ 上的恒等映射在集合 ${\displaystyle A}$ 上的限制即是 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle X}$ 的包含映射。^[2]
• 连续函数的限制是连续的。^{[3] [4]}

若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射 ${\displaystyle f}$ 非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：

　　${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

因為 ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$，故非單射。但若將定義域限制到 ${\displaystyle x\geq {0}}$ 時該映射為單射，此時有反函數

　　${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

（若限制定義域至 ${\displaystyle x\leq {0}}$，輸出 ${\displaystyle y}$ 的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多值函数，則無需限制原函數的定義域。

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間 ${\displaystyle A}$ 的子集 ${\displaystyle X,\ Y}$ 同時為開或閉，且滿足 ${\displaystyle A=X\cup {Y}}$，設 ${\displaystyle B}$ 為拓撲空間。若映射 ${\displaystyle f:A\to {B}}$ 到 ${\displaystyle X}$ 及 ${\displaystyle Y}$ 的限制都連續，則 ${\displaystyle f}$ 也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

層將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中，拓撲空間${\displaystyle X}$的每個開集${\displaystyle U}$，有另一個範疇中的物件${\displaystyle F(U)}$與之對應，其中要求${\displaystyle F}$滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若${\displaystyle V\subseteq U}$，則有態射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件：

1. 對${\displaystyle X}$的每個開集${\displaystyle U}$，限制態射${\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$為${\displaystyle F(U)}$上的恆等態射。
2. 若有三個開集${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$，則複合${\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}}$。
3. （局部性）若${\displaystyle (U_{i})}$為某個開集${\displaystyle U}$的開覆蓋，且${\displaystyle s,t\in F(U)}$滿足：對所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}}$，則${\displaystyle s=t}$。
4. （黏合) 若${\displaystyle (U_{i})}$為某個開集${\displaystyle U}$的開覆蓋，且對每個${\displaystyle i}$，給定截面${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$，使得對任意兩個${\displaystyle i,j}$，都有${\displaystyle s_{i},s_{j}}$在定義域重疊部分重合（即${\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}}$），則存在截面${\displaystyle s\in F(U)}$使得對所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}}$。

所謂拓撲空間${\displaystyle X}$上的層，就是該些物件${\displaystyle F(U)}$和態射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}}$組成的整體${\displaystyle (F,\mathrm {res} )}$。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。