雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 σ {\displaystyle \sigma } -等值曲線,藍色圓圈則是 τ {\displaystyle \tau } -等值曲線。 雙極圓柱坐標系 (英語:Bipolar cylindrical coordinates )是一種三維正交坐標系 。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ,則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} ,其直角坐標 ( x , y ) {\displaystyle (x,\ y)} 分別設定為 ( − a , 0 ) {\displaystyle (-a,\ 0)} 與 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,\ 0)} 。延伸至三維空間,這兩個焦點分別變成兩條直線, L 1 {\displaystyle L_{1}} 與 L 2 {\displaystyle L_{2}} ,稱為焦線 。
基本定義 [ 编辑 ] 雙極圓柱坐標 ( σ , τ , z ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)} 通常定義為
x = a sinh τ cosh τ − cos σ {\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 、 y = a sin σ cosh τ − cos σ {\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 、 z = z {\displaystyle z=z} ; 其中,點 P {\displaystyle P} 的 σ {\displaystyle \sigma } 坐標等於 ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 的弧度, τ {\displaystyle \tau } 坐標等於 d 1 = F 1 P {\displaystyle d_{1}=F_{1}P} 與 d 2 = F 2 P {\displaystyle d_{2}=F_{2}P} 的比例的自然對數
τ = ln d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} 。 注意到焦線 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的坐標分別為 x = − a {\displaystyle x=-a} 與 x = a {\displaystyle x=a} 。
坐標曲面 [ 编辑 ] 雙極坐標的幾何詮釋。 F 1 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{1}P}}} 與 F 2 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{2}P}}} 的夾角 ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 的弧度是 σ {\displaystyle \sigma } 。 F 1 P {\displaystyle F_{1}P} 與 F 2 P {\displaystyle F_{2}P} 的比例的自然對數 是 τ {\displaystyle \tau } 。 σ {\displaystyle \sigma } 與 τ {\displaystyle \tau } 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。 不同 σ {\displaystyle \sigma } 的坐標曲面 是一組不同圓心線,而相交於兩個焦線 L 1 {\displaystyle L_{1}} 與 L 2 {\displaystyle L_{2}} 的圓柱面:
x 2 + ( y − a cot σ ) 2 = a 2 sin 2 σ {\displaystyle x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}} 。 它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 σ {\displaystyle \sigma } 的圓柱面的圓心線都在 y > 0 {\displaystyle y>0} 半空間;而負值 σ {\displaystyle \sigma } 的圓柱面的圓心線則在 y < 0 {\displaystyle y<0} 半空間。當絕對值 | σ | {\displaystyle \left|\sigma \right|} 增加時,圓半徑會減小,圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時, | σ | {\displaystyle \left|\sigma \right|} 達到最大值 π / 2 {\displaystyle \pi /2} 。
不同 τ {\displaystyle \tau } 的坐標曲面 是一組圍著焦線,互不相交,不同半徑的圓柱面。半徑為
y 2 + ( x − a coth τ ) 2 = a 2 sinh 2 τ {\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}} 。 它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 τ {\displaystyle \tau } 的圓柱面在 x > 0 {\displaystyle x>0} 半空間;而負值 τ {\displaystyle \tau } 的圓柱面在 x < 0 {\displaystyle x<0} 半空間。 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} 平面則與 yz-平面同平面。當 τ {\displaystyle \tau } 值增加時,圓柱面的半徑會減少,圓心線會靠近焦點。
逆變換 [ 编辑 ] 雙極圓柱坐標 ( σ , τ , z ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)} 可以用直角坐標 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是
d 1 2 = ( x + a ) 2 + y 2 {\displaystyle d_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}} 、 d 2 2 = ( x − a ) 2 + y 2 {\displaystyle d_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}} 。 τ {\displaystyle \tau } 是 d 1 {\displaystyle d_{1}} 與 d 2 {\displaystyle d_{2}} 的比例的自然對數 :
τ = ln d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} 。 ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 F 1 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{1}P}}} 與 F 2 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{2}P}}} 的夾角。這夾角的弧度是 σ {\displaystyle \sigma } 。用餘弦定理 來計算:
cos σ = d 1 2 + d 2 2 − 4 a 2 2 d 1 d 2 {\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}} 。 z-坐標的公式不變:
z = z {\displaystyle z=z} 。 標度因子 [ 编辑 ] 雙極圓柱坐標 σ {\displaystyle \sigma } 與 τ {\displaystyle \tau } 的標度因子相等;而 z {\displaystyle z} 的標度因子是 1 :
h σ = h τ = a cosh τ − cos σ {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 、 h z = 1 {\displaystyle h_{z}=1} 。 所以,無窮小體積元素等於
d V = a 2 ( cosh τ − cos σ ) 2 d σ d τ d z {\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz} 。 拉普拉斯算子 是
∇ 2 Φ = 1 a 2 ( cosh τ − cos σ ) 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) + ∂ 2 Φ ∂ z 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}} 。 其它微分算子,例如 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 與 ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ,都可以用雙極圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系 的一般方程式內。
雙極圓柱坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程 或亥姆霍茲方程 這類的偏微分方程式 。在這些方程式裏,雙極圓柱坐標允許分離變數法 的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體 ,請問其周圍的電場 為什麼?應用雙極圓柱坐標,我們可以精緻地分析這例題。
參考文獻 [ 编辑 ] Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190. Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7. Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302 .