cis函數

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cis函數示意圖

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一個可以代表cis函數的圖形，藍色是實數部、橘色是虛數部

cis函數
性質
奇偶性	N/A
定義域	(-∞,∞)
到達域	${\displaystyle \left|\operatorname {cis} x\right|=1\,,\operatorname {cis} x\in \mathbb {C} }$
周期	2π
特定值
當x=0	1
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	複數無法比大小
最小值	複數無法比大小
其他性質
渐近线	N/A
根	N/A
臨界點	N/A
拐點	kπ
不動點	0
k是一個整數.

在微积分学中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x}$來定義，是一種實變數複數值函數（英语：Complex-valued function），其中${\displaystyle i}$為虛數單位，而cis則為cos + i sin的縮寫。

cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

其中i表示虛數單位${\displaystyle i^{2}=-1}$。因此

${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}$^[1][2][3]

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用^[4]，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 ^[5][6] 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 ^[6][7] ，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達^[4][5][8]，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合^[9][10][11]，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis函數就能派上用場。

cis函數的定义域是整个实数集，值域是單位複數，絕對值為1的複數。它是周期函数，其最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。其图像关于原点对称。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值:

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}}$，其中${\displaystyle z}$是辐角為${\displaystyle \theta }$的複數

因此，當一複數的模為1，其反函數就是辐角（arg函數）。

${\displaystyle \operatorname {cis} }$函數可視為求單位複數的函數。

${\displaystyle \operatorname {cis} }$函數的實數部分和餘弦函數相同。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$^[1][12]

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$^[1]

根據歐拉公式，cis函數有以下性質：

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$^[13]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$

上述性質是當${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$都是複數時成立。在${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$都是實數時，有以下不等式：

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$^[13]

由於${\displaystyle \operatorname {cis} }$函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，故以${\displaystyle \operatorname {cis} }$來表示該函數。

在數學上，為了簡化歐拉公式${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }$，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了cis函數的定義^{[1][9][8][2][14][10][11][15]}：

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta }$

並且一般定義域為${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}$，值域為${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}$。

當${\displaystyle \theta }$值為複數時，${\displaystyle \operatorname {cis} }$函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。^[16]

在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)}$

跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出: ${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$

${\displaystyle \operatorname {cis} }$的反函數：${\displaystyle \operatorname {arccis} x}$，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數，${\displaystyle \operatorname {cis} }$的反函數也可以用自然對數來表示

${\displaystyle \operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,}$

當一複數經過符號函數後代入${\displaystyle \operatorname {arccis} x}$可得輻角。

${\displaystyle \operatorname {cis} }$函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta }$

就如同三角函數，我們可以令：${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta }$，其可用於誘導公式來化簡某些特定的${\displaystyle \operatorname {cis} }$函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}}$

有恆等式:

${\displaystyle \operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta }$

cish函數（${\displaystyle \cosh +i\sinh }$）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：

${\displaystyle e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )}$

然而當中的${\displaystyle i}$若定義為負一的平方根，則其會變為^[17]：

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )}$

雙曲複數

在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數${\displaystyle z=x+jy}$，其中${\displaystyle x,y}$是實數，而量${\displaystyle j}$不是實數，但${\displaystyle j^{2}}$是實數。選取${\displaystyle j^{2}=-1}$，得到一般複數。取${\displaystyle +1}$的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$

其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元数。

cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為雷夫·赫特利（英语：Ralph Hartley）於1942提出，其定義為${\displaystyle \mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x}$，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的赫特利變換（英语：Hartley transform）^[18][19]：

${\displaystyle \mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x}$

cas函數存在一些恆等式：

${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,}$

角和公式：

${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,}$

微分：

${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}$

• 正弦
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