Delta位勢阱

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量子力学
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ 薛定谔方程
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在量子力學裏，Delta位勢阱是一個阱內位勢為負狄拉克Delta函數，阱外位勢為0的位勢阱。Delta位勢阱問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個粒子的量子行為。這是一個常見的理論問題。假若，粒子的能量是正值的，我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。假若，粒子的能量是負值的，這粒子會被束縛於Delta位勢阱的阱內。這時，我們想要知道的是粒子的能量與束縛的量子態。

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \hbar \,\!}$是約化普朗克常數，${\displaystyle m\,\!}$是粒子質量，${\displaystyle x\,\!}$是粒子位置，${\displaystyle E\,\!}$是能量，${\displaystyle \psi (x)\,\!}$是波函數，${\displaystyle V(x)\,\!}$是位勢，表達為

${\displaystyle V(x)=-\lambda \delta (x)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta (x)\,\!}$是狄拉克Delta函數，${\displaystyle \lambda \,\!}$是狄拉克Delta函數的強度。

這位勢阱將一維空間分為兩個區域：${\displaystyle x<0\,\!}$與${\displaystyle x>0\,\!}$。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的的疊加（參閱自由粒子）：

${\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\quad x<0\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx}\quad x>0\,\!}$；

其中，${\displaystyle A_{r}\,\!}$、${\displaystyle A_{l}\,\!}$、${\displaystyle B_{r}\,\!}$、${\displaystyle B_{l}\,\!}$都是必須由邊界條件決定的常數，下標${\displaystyle r\,\!}$與${\displaystyle l\,\!}$分別標記波函數往右或往左的方向。${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!}$是波數。

當${\displaystyle E>0\,\!}$時，${\displaystyle \psi _{L}\,\!}$與${\displaystyle \psi _{R}\,\!}$都是行進波。可是，當${\displaystyle E<0\,\!}$時，${\displaystyle \psi _{L}\,\!}$與${\displaystyle \psi _{R}\,\!}$都隨著座標${\displaystyle x\,\!}$呈指數遞減或指數遞增。

在${\displaystyle x=0\,\!}$处，邊界條件是：

${\displaystyle \psi _{L}=\psi _{R}\,\!}$，

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\psi _{L}={\frac {d}{dx}}\psi _{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在${\displaystyle x=0\,\!}$並不是連續的，在位勢阱兩邊的差額有${\displaystyle {\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於${\displaystyle x=0\,\!}$的一個非常小的鄰域：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }V(x)\psi \,dx=E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\,\!}$；(1)

其中，${\displaystyle \epsilon \,\!}$是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

${\displaystyle E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!}$。(2)

当${\displaystyle \epsilon \to 0\,\!}$时，该項趋向于0。

方程式(1)左邊是

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }-{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }\right)+\lambda \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=0\,\!}$(3)

根據狄拉克Delta函數的定義，

${\displaystyle \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=\psi _{R}(0)\,\!}$。(4)

而在${\displaystyle \epsilon \to 0\,\!}$的極限，

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }={\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!}$，(5)

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }={\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!}$。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，整理后，可以得到第二個邊界條件方程式：在${\displaystyle x=0\,\!}$，

${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dx}}={\frac {d\psi _{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!}$，

${\displaystyle ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})={\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B_{r}+B_{l})\,\!}$。

假若，能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢阱外的兩個半空間，${\displaystyle x<0\,\!}$或${\displaystyle x>0\,\!}$。在這裏，粒子的量子行為主要是由Delta位勢阱造成的散射行為。稱這粒子的量子態為散射態。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢阱，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定${\displaystyle A_{r}=1\,\!}$，${\displaystyle A_{l}=r\,\!}$，${\displaystyle B_{l}=0\,\!}$，${\displaystyle B_{r}=t\,\!}$。求算反射的機率幅${\displaystyle r\,\!}$與透射的機率幅${\displaystyle t\,\!}$：

${\displaystyle r=-\ {\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}+1}}\,\!}$，

${\displaystyle t={\cfrac {1}{-\ {\cfrac {im\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}}\,\!}$。

反射係數是

${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\,\!}$。

這純粹是一個量子力學的效應；在經典力學裏，這是不可能發生的。

透射係數是

${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!}$。

• 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
• 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

每一個一維的吸引位勢，都至少會存在著一個束縛態（bound state）。由於${\displaystyle E<0\,\!}$，波數變為複數。設定${\displaystyle \kappa =-ik={\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,\!}$。前述的振盪的波函數${\displaystyle \psi _{L}\,\!}$與${\displaystyle \psi _{R}\,\!}$，現在卻隨著座標${\displaystyle x\,\!}$呈指數遞減或指數遞增。為了要符合物理的真實性，我們要求波函數不發散於${\displaystyle x\to \pm \infty \,\!}$。那麼，${\displaystyle A_{r}\,\!}$與${\displaystyle B_{l}\,\!}$必須被設定為0。波函數變為

${\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{l}e^{\kappa x}\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{R}(x)=B_{r}e^{-\kappa x}\,\!}$。

從邊界條件與歸一條件，可以得到

${\displaystyle A_{l}=B_{r}={\sqrt {\kappa }}\,\!}$，

${\displaystyle \kappa ={\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}}\,\!}$。

Delta位勢阱只能有一個束縛態。束縛態的能量是

${\displaystyle E=-\ {\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-\ {\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}\,\!}$。

束縛態的波函數是

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\sqrt {m\lambda }}{\hbar }}e^{-m\lambda \mid x\mid /\hbar ^{2}}\,\!}$。

Delta位勢阱是有限深方形阱的一個特別案例。在有限深位勢阱的深度${\displaystyle V_{0}\to \infty \,\!}$與阱寬${\displaystyle L\to 0\,\!}$的極限，同時保持${\displaystyle V_{0}L=\lambda \,\!}$，就可以從有限深位勢阱的波函數，得到Delta位勢阱的波函數。

Delta函數模型其實是氫原子的一維版本根據維度比例由 达德利·赫施巴赫（“Dudley R. Herschbach”）^[1]團隊所研發。此 delta函數模型以雙井迪拉克Delta函數模型最有用，因其代表一維版的水分子離子。

雙井迪拉克Delta函數模型是用以下薛丁格方程描述：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

電位現為：

${\displaystyle V(x)=-q\left[\delta (x-{\frac {R}{2}})+\lambda \delta (x+{\frac {R}{2}})\right]}$

其中${\displaystyle 0<R<\infty }$是「核間」距離於迪拉克Delta函數（負）峰值位於${\displaystyle x=\pm {\textstyle {\frac {R}{2}}}}$（圖表中棕色所示）。記得此模型與其三維分子版本的關係，我們用原子单位制且設${\displaystyle \hbar =m=1}$。此處${\displaystyle 0<\lambda <1}$為一可調參數。從單井的例子，可推論擬設於此解為：

${\displaystyle \psi (x)~=~Ae^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}}$

令波函數於Delta函數峰值相等可得行列式：

${\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{array}}\right|=0~,\qquad E=-{\frac {d^{2}}{2}}~.}$

因此，${\displaystyle d}$是由偽二次式方程：

${\displaystyle d_{\pm }(\lambda )~=~{\textstyle {\frac {1}{2}}}q(\lambda +1)\pm {\textstyle {\frac {1}{2}}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\,\lambda q^{2}\lbrack 1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}]\right\}^{1/2}}$

它有兩解${\displaystyle d=d_{\pm }}$。若等價情況（對稱單核），${\displaystyle \lambda =1}$則偽二次式化為：

${\displaystyle d_{\pm }=q[1\pm e^{-d_{\pm }R}]}$

此「+」代表了對稱於中點的波函數（圖中紅色）而${\displaystyle A=B}$稱為偶態。接著，「-」情況為反對稱於中點的波函數其${\displaystyle A=-B}$稱為非偶態（圖中綠色）。它們代表著三維${\displaystyle H_{2}^{+}}$的兩種最低能態之近似且有助於其分析。對稱電價的特徵能分析解為^[2]：

${\displaystyle d_{\pm }=q~+~W(\pm qRe^{-qR})/R}$

其中W是標準朗伯W函数注意此最低能對應於對稱解${\displaystyle d_{+}}$。當非等電價，此為三維分子問題，其解為一般化Lambert W函數（見一般化朗伯W函数章節與相關參考）。

1. ^ D.R Herschbach, J.S. Avery, and O. Goscinski (eds.), Dimensional Scaling in Chemical Physics, Springer, (1992). [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. ^ T.C. Scott, J.F. Babb, Alexander Dalgarno and John D. Morgan III, "The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models", J. Chem. Phys., 99, pp. 2841-2854, (1993). [2]

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