3-varietà irriducibile

In geometria, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, una 3-varietà irriducibile è una 3-varietà in cui ogni sfera borda una palla. Una 3-varietà che contiene una sfera non bordante una palla è invece detta riducibile: questa può essere effettivamente "ridotta" a una varietà più semplice tramite l'operazione inversa della somma connessa. Una 3-varietà è prima se non è ottenuta come somma connessa non banale di due varietà. I concetti di irriducibile e prima sono equivalenti per tutte le 3-varietà, con due sole eccezioni. L'ipotesi di irriducibilità è però più facile da esprimere e da gestire in molti casi, ed è quindi quella usata più spesso.

Una 3-varietà è irriducibile se ogni sfera liscia borda una palla. Più rigorosamente, una 3-varietà differenziabile connessa ${\displaystyle M}$ è irriducibile se ogni sottovarietà differenziabile ${\displaystyle S}$ omeomorfa a una sfera è bordo ${\displaystyle S=\partial D}$ di un sottoinsieme ${\displaystyle D}$ omeomorfo alla palla chiusa

${\displaystyle D^{3}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.}$

L'ipotesi di differenziabilità per ${\displaystyle M}$ non è importante, perché ogni 3-varietà topologica ha un'unica struttura differenziabile. L'ipotesi che la sfera sia liscia (cioè che sia una sottovarietà differenziabile) è invece importante: la sfera deve avere infatti un intorno tubolare.

Una 3-varietà non irriducibile è riducibile.

Una 3-varietà connessa ${\displaystyle M}$ è prima se non è ottenibile come somma connessa

${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2}}$

di due varietà entrambe distinte da ${\displaystyle S^{3}}$ (o, analogamente, entrambe distinte da ${\displaystyle M}$).

Lo spazio euclideo tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ è irriducibile: ogni sfera liscia nello spazio borda effettivamente una palla.

D'altra parte, la sfera di Alexander è una sfera in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ non liscia, che non borda una palla: l'ipotesi sulla liscezza della sfera è quindi necessaria.

La sfera ${\displaystyle S^{3}}$ è irriducibile. Lo spazio prodotto ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ non è irriducibile: infatti la sfera ${\displaystyle S^{2}\times \{pt\}}$ (dove 'pt' è un qualsiasi punto di ${\displaystyle S^{1}}$) ha complementare connesso, e quindi non può essere bordo di una palla.

Uno spazio lenticolare ${\displaystyle L(p,q)}$ con ${\displaystyle p\neq 0}$ (distinto quindi da ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$) è irriducibile.

Una 3-varietà è irriducibile se e solo se è prima, tranne in due casi: il prodotto ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ed il fibrato non orientabile di sfere su ${\displaystyle S^{1}}$ sono entrambe prime ma non irriducibili.

Una varietà irriducibile ${\displaystyle M}$ è effettivamente prima. Infatti, se

${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2},}$

la ${\displaystyle M}$ è ottenuta rimuovendo due palle da ${\displaystyle N_{1}}$ e ${\displaystyle N_{2}}$, e quindi incollando le due sfere di bordo risultanti. Queste due sfere incollate formano una sfera ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle M}$. Per ipotesi, deve bordare una palla. Ripercorrendo l'operazione di somma connessa a ritroso, ${\displaystyle N_{1}}$ oppure ${\displaystyle N_{2}}$ è ottenuta incollando due palle chiusa per il bordo. Questa operazione porta però soltanto ad ${\displaystyle S^{3}}$: quindi uno dei due fattori è in realtà banale, e la varietà ${\displaystyle M}$ è prima.

Sia ${\displaystyle M}$ una varietà prima. Sia ${\displaystyle S}$ una sfera in essa contenuta. Tagliando lungo ${\displaystyle S}$ si può ottenere una sola varietà ${\displaystyle N}$ oppure due varietà ${\displaystyle M_{1}}$ e ${\displaystyle M_{2}}$. Nel secondo caso, incollando due palle chiuse nei due nuovi bordi sferici si ottengono due varietà ${\displaystyle N_{1}}$ e ${\displaystyle N_{2}}$ tali che

${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2}.}$

Poiché ${\displaystyle M}$ è prima, una delle due, ad esempio ${\displaystyle N_{1}}$, è ${\displaystyle S^{3}}$. Quindi ${\displaystyle M_{1}}$ è ${\displaystyle S^{3}}$ meno una palla: è quindi anch'esso una palla. La sfera ${\displaystyle S}$ quindi borda una palla: la varietà ${\displaystyle M}$ è quindi irriducibile.

Resta da considerare il caso in cui tagliando lungo ${\displaystyle S}$ si ottiene un pezzo solo ${\displaystyle N}$. Esiste quindi una curva semplice chiusa ${\displaystyle \gamma }$ in ${\displaystyle M}$ intersecante ${\displaystyle S}$ in un punto solo. Sia ${\displaystyle R}$ l'unione di due intorni tubolari di ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle \gamma }$. Il bordo ${\displaystyle \partial R}$ risulta essere una sfera: questa deve bordare una palla. La varietà risultante è quindi pressoché determinata, e un'analisi attenta porta a verificare che si tratta di ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ oppure dell'altro fibrato non orientabile.

• William Jaco, Lectures on 3-manifold topology, ISBN 0-8218-1693-4.

• 3-varietà
• Somma connessa
• Teorema di Kneser-Milnor

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