Sistema numerico vigesimale

Il sistema numerico vigesimale o in base 20 si basa sul "venti" (nello stesso modo in cui il sistema numerico decimale si basa sul "dieci").

In un sistema posizionale vigesimale, vengono utilizzati venti numeri individuali (o simboli numerici), dieci in più rispetto al comune sistema decimale. Un metodo moderno per trovare i simboli extra necessari è scrivere dieci come la lettera A₂₀ (il ₂₀ significa "in base 20"), scrivere diciannove come J₂₀ e i numeri compresi con le corrispondenti lettere dell'alfabeto. Questo è simile alla pratica informatica comune di scrivere numeri esadecimali oltre il 9 con le lettere "A – F". Un altro metodo meno comune ignora la lettera "I", al fine di evitare confusione tra I₂₀ come diciotto e uno, in modo che il numero diciotto sia scritto come J₂₀ e diciannove sia scritto come K₂₀ . Il numero venti è scritto come 10₂₀.

Secondo questa notazione:

20 significa quaranta in decimale = (2 × 20¹) + (0 × 20⁰)

D0 significa duecentosessanta in decimale = (13 × 20¹) + (0 × 20⁰)

100 significa quattrocento in decimale = (1 × 20²) + (0 × 20¹) + (0 × 20⁰) .

Nel resto di questa voce, i numeri sono espressi in notazione decimale, se non diversamente specificato. Ad esempio, 10 significa dieci, 20 significa venti. I numeri in notazione vigesimale usano la convenzione per cui I significa "diciotto" e J significa "diciannove".

Poiché 20 è divisibile per due e cinque ed è adiacente a 21, il prodotto di tre e sette, coprendo così i primi quattro numeri primi, molte frazioni vigesimali hanno rappresentazioni semplici (sebbene i terzi siano più complicati che in decimale, ripetendo due cifre anziché una). In decimale, dividendo per tre due volte (noni) dà un periodo a una sola cifra 1/9 = 0,1111 .... per esempio) perché 9 è il numero inferiore a dieci. 21, tuttavia, il numero adiacente a 20 che è divisibile per 3, non è divisibile per 9. I noni in vigesimale hanno periodi di sei cifre. Poiché 20 ha gli stessi fattori primi di 10 (due e cinque), una frazione termina in decimale se e solo se termina in vigesimale.

La scomposizione in fattori primi di venti è 2² × 5, quindi non è una potenza perfetta. Tuttavia, la sua parte quadrata libera, 5, è congruente a 1 (mod 4). Pertanto, secondo la congettura di Artin sulle radici primitive, il vigesimale ha infinitamente molti numeri primi ciclici, ma la frazione di numeri primi ciclici non è necessariamente del 37,395%. Un programma UnrealScript che calcola le lunghezze dei periodi ricorrenti di varie frazioni in un dato insieme di basi ha scoperto che, dei primi 15.456 numeri primi, ~ 39.344% sono ciclici in vigesimale.

In molte lingue europee, 20 è usato come base, almeno per quanto riguarda la struttura linguistica dei nomi di determinati numeri (sebbene un sistema vigesimale coerente e completo, basato sui poteri 20, 400, 8000 ecc., non sia generalmente usato).

• L'Open Location Code (codice di posizione aperto), utilizzato per la codifica delle aree geografiche utilizza una codifica di coordinate in base 20.^[1]

I sistemi vigesimali sono comuni in Africa, ad esempio in lingua yoruba.

Ogún, 20, è il blocco numerico di base.

Ogójì, 40, (Ogún-meji) = 20 moltiplicato per 2 (èjì).

Ogota, 60, (Ogún-mẹ̀ta) = 20 moltiplicato per 3 (ẹ̀ta).

Ogorin, 80, (Ogún-mẹ̀rin) = 20 moltiplicato per 4 (ẹ̀rin).

Ogorun, 100, (Ogún-màrún) = 20 moltiplicato per 5 (àrún).

16 (Ẹẹ́rìndílógún) = 4 in meno di 20.

17 (Etadinlogun) = 3 in meno di 20.

18 (Eejidinlogun) = 2 in meno di 20.

19 (Okandinlogun) = 1 in meno di 20.

21 (Okanlelogun) = 1 in più di 20.

22 (Eejilelogun) = 2 in più di 20.

23 (Etalelogun) = 3 in più di 20.

24 (Erinlelogun) = 4 in più di 20.

25 (Aarunlelogun) = 5 in più di 20.

Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di numerazione maya, Calendario maya, Lingue maya, Lingua maya yucateca e Lingua nahuatl.

• Venti era una base nei sistemi numerici Maya e Aztechi. I Maya usarono i seguenti nomi per le potenze del venti: kal (20), bak (20 ² = 400), pic (20 ³ = 8.000), calab (20 ⁴ = 160.000), kinchil (20 ⁵ = 3.200.000) e alau (20 ⁶ = 64.000.000). . Gli Aztechi li chiamavano: cempoalli (1 × 20), centzontli (1 × 400), cenxiquipilli (1 × 8.000), cempoalxiquipilli (1 × 20 × 8.000 = 160.000), centzonxiquipilli (1 × 400 × 8.000 = 3.200.000) e cempoaltzonxiquipilli (1 × 20 × 400 × 8.000 = 64.000.000). Si noti che il prefisso ce(n/m) significa "uno" e viene sostituito con il numero corrispondente per ottenere i nomi di altri multipli della potenza. Ad esempio, ome (2) × poalli (20) = ompoalli (40), ome (2) × tzontli (400) = ontzontli (800). Il -li in poalli (e xiquipilli ) e il -tli in tzontli sono suffissi grammaticali dei nomi; quindi poalli, tzontli e xiquipilli si compongono come poaltzonxiquipilli (invece di * poallitzontlixiquipilli).
• I Tlingit usano la base 20.

• I numeri dei Kaktovik Inupiaq usano un sistema in base 20. Nel 1994, degli studenti di Kaktovik, in Alaska, inventarono i "numeri di Kaktovik Inupiaq". Prima che i numeri fossero stati sviluppati, i nomi in Inuit erano caduti in disuso.^[2]

• Dzongkha, la lingua nazionale del Bhutan, ha un sistema vigesimale completo, con numerali per le potenze di venti 20, 400, 8.000 e 160.000.
• Inoltre, una lingua parlata nelle colline del Garo meridionale dello stato di Meghalaya, nell'India nord-orientale e nelle aree adiacenti del Bangladesh, ha un sistema vigesimale che oggi è considerato arcaico.^[3]
• In lingua santali, una lingua Munda dell'India, "cinquanta" è espresso dalla frase bār isī gäl, letteralmente "due venti dieci".^[4] Allo stesso modo, in Didei, un'altra lingua munda parlata in India, i numeri complessi sono decimali fino al 19 e decimali-vigesimali fino al 399.^[5]
• Il sistema numerico Burushaski è in base 20. Ad esempio, 20 altar, 40 alto-altar (2 volte 20), 60 iski-altar (3 volte 20) ecc.
• Nell'Asia orientale, anche il linguaggio Ainu utilizza un sistema di conteggio basato sul numero 20. hotnep è 20, wanpe etu hotnep ("altri dieci prima dei due venti") è 30, tu hotnep ("due venti") è 40, ashikne hotnep ("cinque venti") è 100. Anche la sottrazione viene utilizzata, ad es. shinepesanpe ("uno per arrivare a dieci") è 9.
• La Lingua ciukcia ha un sistema numerico vigesimale.^[6]

Vi sono prove dell'uso della base 20 nella lingua māori della Nuova Zelanda, come si vede nei termini Te Hokowhitu a Tu che si riferisce a un partito di guerra (letteralmente "i sette 20 di Tu") e Tama-hokotahi, che si riferisce a un grande guerriero ("un unico uomo che vale come 20").

Vigesimale deriva dall'aggettivo latino vicesimus.

• Venti (vingt) è usato come base in lingua francese nei nomi dei numeri da 80 a 99, tranne nel francese di Belgio, Svizzera, Repubblica Democratica del Congo, Ruanda, Valle d'Aosta e Isole del Canale. Per esempio, "quatre-vingts", parola francese per "80", significa letteralmente "quattro [volte] venti"; quatre-vingt-sept ("87") è "quattro [volte] venti [più] sette"; quatre-vingt-seize ("96") è "quattro [volte] venti [più] sedici", eccetera. Invece nelle altre varianti del francese 80 e 90 hanno in genere i nomi huitante/octante e nonante. Pertanto, l'anno 1996 è "mille neuf cent quatre-vingt-seize" nel francese nazionale, ma "mille neuf cent nonante-six" nel francese belga. In Svizzera, "80" può essere quatre-vingts (Ginevra, Neuchâtel, Jura) o huitante (Vaud, Valais, Friburgo); octante è anche usato nelle regioni rurali del sud della Francia.
• Venti (tyve) è usato come base in lingua danese per i numeri da 50 a 99. Per esempio, "tres" (abbreviazione di "tresindstyve") significa "3 volte 20", cioè 60. Tuttavia, i numerali danesi non sono vigesimali in quanto sono solo i nomi di alcune decine che sono formati etimologicamente in sistema vigesimale.
• Venti (ugent) è usato come base in lingua bretone nei nomi dei numeri da 40 a 49 e da 60 a 99. Per esempio, "daou-ugent" significa "2 volte 20", cioè 40, e "triwec'h ha pevar-ugent" (letteralmente "tre-sei e quattro-venti") significa 3×6 + 4×20, cioè 98. Invece 30 è "tregont" e non "dek ha ugent" ("dieci e venti"), e 50 è "hanter-kant" ("mezzo centinaio").
• Venti (ugain) è usato come base in lingua gallese, anche se dalla fine del ventesimo secolo si è sempre più preferito un sistema decimale. Comunque il sistema vigesimale è usato solo per i numeri ordinali. "Deugain" significa "2 volte 20" cioè 40, "trigain" significa "3 volte 20" cioè 60, ecc.
• Venti (fichead) è tradizionalmente usato come base in lingua gaelica scozzese, con "deich ar fhichead" o "fichead 's a deich" che significa "30" ("dieci oltre il venti", o "venti e dieci"), "dà fhichead" 40 ("due ventine"), "dà fhichead 's a deich" 50 ("due ventine e dieci") / "leth-cheud" 50 ("mezzo centinaio"), "trì fichead" 60 ("tre ventine") e così via fino a "naoidh fichead" 180 ("nove ventine"). Al giorno d'oggi viene insegnato il sistema decimale, ma il sistema vigesimale è utilizzato dalle fasce più anziane della popolazione.
• Venti (njëzet) è usato come base in lingua albanese. La parola per "40" (dyzet) significa "due volte venti" (alcuni dialetti della lingua albanese ghega usano invece "katërdhetë"). L'Arbëreshë in Italia può usare 'trizetë' per 60. In passato, si diceva 'katërzetë' per 80. Oggi gli albanesi Cham in Grecia usano tutti numeri con "zet": 20 si dice 1 zet, 40 "2 zet", 60 3 zet e 80 4 zet.
• Venti (otsi) è usato come base in lingua georgiana. Per esempio, 31 ("otsdatertmeti") letteralmente significa "venti e undici"; 67 (samotsdashvidi) è "tre-venti-e-sette".
• Venti (tqa) è usato come base nelle lingue nakh.
• Venti (hogei) è usato come base in lingua basca per i numeri fino a 100 (ehun). Le parole per 40 (berrogei), 60 (hirurogei) e 80 (laurogei) significano "due-venti", "tre-venti" e "quattro venti" rispettivamente. Per esempio il numero 75 è chiamato "hirurogeita hamabost", lett. "tre-venti-e-dieci-cinque". Il nazionalista basco Sabino Arana propose un sistema di cifre vigesimale per una corrispondenza con il linguaggio parlato e, in alternativa, una riforma del linguaggio parlato per renderlo decimale, ma le proposte non ebbero seguito.
• Venti (dwisti o dwujsti) è usato come base nel dialetto resiano della lingua slovena nella valle di Resia. 60 è espresso come trïkrat dwisti (3×20), 70 come trïkrat dwisti nu dësat (3×20 + 10), 80 come štirikrat dwisti (4×20) e 90 come štirikrat dwisti nu dësat (4×20 + 10).
• Nel vecchio sistema di valuta del Regno Unito (pre-1971), esistevano 20 scellini (ognuno valeva 12 pence) per ogni sterlina. Dopo l'introduzione del sistema decimale nel 1971 (1 sterlina equivale a 100 nuovi pence invece di 240 pence del vecchio sistema), le monete di scellin ancora in circolazione furono rivalutate a 5 pence (non più coniate, poi fuori circolazione dal 1990).
• Nel sistema imperiale di misura del peso ci sono venti "hundredweight" in un "ton".
• In inglese, contare per venti è stato usato storicamente, come nell'apertura del famoso Discorso di Gettysburg "Four score and seven years ago…", per indicare ottantasette anni fa. Nella Bibbia di re Giacomo il termine "score" (arcaico per "venti") è usato oltre 130 volte, anche se solo quando preceduto da un numero maggiore di uno, mentre un singolo "score" è espresso sempre come "venti". L'uso di "score" per indicare multipli di venti è caduto in disuso nell'inglese moderno.
• Altre lingue hanno equivalenti allo "score" del vecchio inglese, per esempio il danese e il norvegese "snes".
• In regioni in cui tracce delle lingue brittoniche sono sopravvissute nei dialetti, il sistema di conteggio delle pecore in vigesimale è pervenuto fino ai nostri giorni.

• Tra i multipli di 10, 20 è descritto in modo speciale in alcune lingue, tra cui l'italiano. Infatti, mentre le parole "trenta" e "quaranta" ricordano "tre" e "quattro", la parola "venti" è totalmente diversa da "due". Allo stesso modo, nelle lingue semitiche come l'arabo e l'ebraico, i numeri 30, 40 ... 90 sono espressi da forme morfologicamente plurali delle parole per i numeri 3, 4 ... 9, ma il numero 20 è espresso da una forma morfologicamente plurale di 10. La lingua giapponese ha una parola speciale (hatachi) per 20 anni (di età) e per il 20º giorno del mese (hatsuka).
• In alcune lingue (ad es l'inglese, le lingue slave e il tedesco), i nomi dei numeri a due cifre da 11 a 19 consistono in una parola, ma i nomi dei numeri a due cifre da 21 in poi consistono in due parole. In francese, questo vale fino al 16. In un certo numero di altre lingue (come l'ebraico), i nomi dei numeri dall'11 al 19 contengono due parole, ma una di queste parole è una speciale forma riferita al dieci (come il -teen in inglese), che è diversa dalla forma ordinaria della parola per il numero 10, e in effetti può essere trovato solo in questi nomi dei numeri 11-19.
• Il cantonese^[7] e il cinese Wu usano frequentemente la singola unità 廿 (Cantonese yàh, Shanghainese nyae o ne, Mandarin niàn) per venti, oltre al valore decimale 二十 (Cantonese yìh sàhp, Shanghainese el sah, Mandarin èr shí ) che significa letteralmente "due dieci". Esistono equivalenti per 30 e 40 (卅 e 卌 rispettivamente: mandarino sà e xì ), ma questi sono più raramente utilizzati. Questo è un residuo storico di un sistema vigesimale.
• Sebbene i numeri Khmer abbiano rappresentato un sistema numerico decimale posizionale almeno dal 7º secolo, il Khmer antico o il Khmer angkoriano, possedeva anche simboli separati per i numeri 10, 20 e 100. Ciascun multiplo di 20 o 100 richiedeva un tratto aggiuntivo al carattere, quindi il numero 47 è stato costruito usando il simbolo 20 con un tratto superiore aggiuntivo, seguito dal simbolo per il numero 7. Ciò suggerisce che il Khmer angkoriano parlato usasse un sistema vigesimale.
• Il Thai usa il termine ยี่สิบ (sorso) per 20. Altri multipli di dieci sono costituiti dal numero di base, seguito dalla parola per dieci, ad esempio สามสิบ (sam sip), lett. tre dieci, per trenta. Lo yi di yi sip è diverso dal numero due in altre posizioni, che è สอง ( song). Tuttavia, yi sip è una parola in prestito dal cinese.
• Allo stesso modo il Lao forma multipli di dieci mettendo il numero di base davanti alla parola dieci, quindi ສາມສິບ (Sam Sip), letteralmente "tre dieci", per trenta. L'eccezione è venti, per cui viene utilizzata la parola ຊາວ (xao). (ซาว sao è anche usato nei dialetti nord-orientali e settentrionali del tailandese, ma non nel tailandese standard.)
• Il sistema numerico di Kharosthi si comporta come un sistema vigesimale parziale.

Potenze di venti in maya yucateco e nahuatl
Numero	inglese	maya	Nahuatl (ortografia moderna)	Nahuatl classico	Radice di nahuatl	Pittogramma azteco
1	Uno	unno	Se	Ce	Ce
20	Venti	K'áal	Sempouali	Cempohualli (Cempoalli)	Pohualli
400	Quattrocento	Bak	Sentsontli	Centzontli	Tzontli
8000	Ottomila	pic	Senxikipili	Cenxiquipilli	Xiquipilli
160 000	Centosessantamila	Calab	Sempoualxikipili	Cempohualxiquipilli	Pohualxiquipilli
3 200 000	Tre milioni duecentomila	Kinchil	Sentsonxikipili	Centzonxiquipilli	Tzonxiquipilli
64 000 000	Sessantaquattro milioni	Alau	Sempoualtzonxikipili	Cempohualtzonxiquipilli	Pohualtzonxiquipilli

Questa tabella mostra i numeri maya e i nomi dei numeri nel maya yucateco, nahuatl nell'ortografia moderna e nel nahuatl classico .

Da uno a dieci (1 – 10)
1  (uno)	2 (due)	3 (tre)	4 (quattro)	5 (cinque)	6 (sei)	7 (sette)	8 (otto)	9 (nove)	10 (dieci)
Hun	Ka'ah	Óox	Kan	Ho'	Wak	Uk	Waxak	Bolon	Lahun
Se	Ome	Yeyi	Naui	Makuili	Chikuasen	Chikome	Chikueyi	Chiknaui	Majtlaktli
Ce	Ome	Yei	Nahui	Macuilli	Chicuace	Chicome	Chicuei	Chicnahui	Matlactli
Da undici a venti (11 – 20)
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Buluk	Lahka'a	Óox lahun	Kan lahun	Ho' lahun	Wak lahun	Uk lahun	Waxak lahun	Bolon lahun	Hun k'áal
Majtlaktli onse	Majtlaktli omome	Majtlaktli omeyi	Majtlaktli onnaui	Kaxtoli	Kaxtoli onse	Kaxtoli omome	Kaxtoli omeyi	Kaxtoli onnaui	Sempouali
Matlactli huan ce	Matlactli huan ome	Matlactli huan yei	Matlactli huan nahui	Caxtolli	Caxtolli huan ce	Caxtolli huan ome	Caxtolli huan yei	Caxtolli huan nahui	Cempohualli
Da ventuno a trenta (21 – 30)
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Hump'éel katak hun k'áal	Ka'ah katak hun k'áal	Óox katak hun k'áal	Kan katak hun k'áal	Ho' katak hun k'áal	Wak katak hun k'áal	Uk katak hun k'áal	Waxak katak hun k'áal	Bolon katak hun k'áal	Lahun katak hun k'áal
Sempouali onse	Sempouali omome	Sempouali omeyi	Sempouali onnaui	Sempouali ommakuili	Sempouali onchikuasen	Sempouali onchikome	Sempouali onchikueyi	Sempouali onchiknaui	Sempouali ommajtlaktli
Cempohualli huan ce	Cempohualli huan ome	Cempohualli huan yei	Cempohualli huan nahui	Cempohualli huan macuilli	Cempohualli huan chicuace	Cempohualli huan chicome	Cempohualli huan chicuei	Cempohualli huan chicnahui	Cempohualli huan matlactli
Da trentuno a quaranta (31 – 40)
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Buluk katak hun k'áal	Lahka'a katak hun k'áal	Óox lahun katak hun k'áal	Kan lahun katak hun k'áal	Ho' lahun katak hun k'áal	Wak lahun katak hun k'áal	Uk lahun katak hun k'áal	Waxak lahun katak hun k'áal	Bolon lahun katak hun k'áal	Ka' k'áal
Sempouali ommajtlaktli onse	Sempouali ommajtlaktli omome	Sempouali ommajtlaktli omeyi	Sempouali ommajtlaktli onnaui	Sempouali onkaxtoli	Sempouali onkaxtoli onse	Sempouali onkaxtoli omome	Sempouali onkaxtoli omeyi	Sempouali onkaxtoli onnaui	Ompouali
Cempohualli huan matlactli huan ce	Cempohualli huan matlactli huan ome	Cempohualli huan matlactli huan yei	Cempohualli huan matlactli huan nahui	Cempohualli huan caxtolli	Cempohualli huan caxtolli huan ce	Cempohualli huan caxtolli huan ome	Cempohualli huan caxtolli huan yei	Cempohualli huan caxtolli huan nahui	Ompohualli
Da venti a duecento (di venti in venti) (20 – 200)
20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
Hun k'áal	Ka' k'áal	Óox k'áal	Kan k'áal	Ho' k'áal	Wak k'áal	Uk k'áal	Waxak k'áal	Bolon k'áal	Lahun k'áal
Sempouali	Ompouali	Yepouali	Naupouali	Makuilpouali	Chikuasempouali	Chikompouali	Chikuepouali	Chiknaupouali	Majtlakpouali
Cempohualli	Ompohualli	Yeipohualli	Nauhpohualli	Macuilpohualli	Chicuacepohualli	Chicomepohualli	Chicueipohualli	Chicnahuipohualli	Matlacpohualli
Da duecento a quattrocento (di venti in venti) (220 – 400)
220	240	260	280	300	320	340	360	380	400
Buluk k'áal	Lahka'a k'áal	Óox lahun k'áal	Kan lahun k'áal	Ho' lahun k'áal	Wak lahun k'áal	Uk lahun k'áal	Waxak lahun k'áal	Bolon lahun k'áal	Hun bak
Majtlaktli onse pouali	Majtlaktli omome pouali	Majtlaktli omeyi pouali	Majtlaktli onnaui pouali	Kaxtolpouali	Kaxtolli onse pouali	Kaxtolli omome pouali	Kaxtolli omeyi pouali	Kaxtolli onnaui pouali	Sentsontli
Matlactli huan ce pohualli	Matlactli huan ome pohualli	Matlactli huan yei pohualli	Matlactli huan nahui pohualli	Caxtolpohualli	Caxtolli huan ce pohualli	Caxtolli huan ome pohualli	Caxtolli huan yei pohualli	Caxtolli huan nahui pohualli	Centzontli

• Karl Menninger, Number words and number symbols: a cultural history of numbers; tradotto da Paul Broneer dall'edizione tedesca. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 1969 ISBN 0-486-27096-3)
• Levi Leonard Conant, The Number Concept: Its Origin and Development; New York, New York: Macmillan & Co, 1931. Project Gutenberg EBook

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