Completamento a base

In matematica, in particolare in algebra lineare, il completamento a base è un algoritmo utile a completare un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale ad una base dello spazio.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$, di dimensione ${\displaystyle n}$. Il teorema di completamento a base, anche detto teorema della base incompleta, asserisce che se ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$ sono vettori linearmente indipendenti in ${\displaystyle V}$ si ha:

• Il numero ${\displaystyle k}$ è minore o uguale a ${\displaystyle n}$.^[1]
• Se ${\displaystyle k<n}$ allora esistono ${\displaystyle n-k}$ vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{k+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$ tali che l'insieme ordinato ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k},\mathbf {v} _{k+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$ è base^[2] di ${\displaystyle V}$.

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{k+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$. Sia ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle V}$ composto da vettori linearmente indipendenti. Si aggiunga al sottoinsieme una base nota ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}}$ dello spazio ${\displaystyle V}$. Si ottiene quindi l'insieme ordinato:

${\displaystyle S=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k},\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$

L'insieme ${\displaystyle S}$ genera tutto lo spazio ${\displaystyle V}$, ed è allora possibile applicare l'algoritmo di estrazione di una base. Questo algoritmo elimina, partendo da sinistra, quei vettori che sono dipendenti dai vettori precedenti. Poiché i primi ${\displaystyle k}$ sono indipendenti, l'algoritmo eliminerà soltanto alcuni dei vettori ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$, ottenendo una base contenente ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$.

I vettori ${\displaystyle (2,1,0)}$ e ${\displaystyle (1,1,0)}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ sono indipendenti. Quindi esiste un terzo vettore che forma una base con questi due, e può essere trovato usando l'algoritmo di completamento. Si aggiunge quindi ai due vettori la base canonica:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

L'algoritmo di estrazione mantiene i primi due vettori, quindi elimina il terzo e il quarto (entrambi generati dai primi due: A - B = C, -1 (A) + 2 B = D), e tiene di conseguenza il quinto. Si ottiene quindi la base:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

• Base (algebra lineare)
• Estrazione di una base
• Indipendenza lineare
• Span lineare

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