Costante di Brun

Costante di Brun
Simbolo	${\displaystyle B_{2}}$
Valore	1,902160583104... (congetturato) (sequenza A065421 dell'OEIS)
Origine del nome	Viggo Brun
Campo	numeri reali
Il grafico mostra in rosso le somme parziali ${\displaystyle \sum _{\stackrel {p,p+2{\text{ primi gemelli}},}{p\leq k}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}\right)}$ per k fino a 105. La linea blu corrisponde all'approssimazione della costante ottenuta prendendo k=1016.

La costante di Brun (più formalmente costante di Brun per i numeri primi gemelli) è una costante matematica, corrispondente al limite di una serie, la cui convergenza è una conseguenza del teorema di Brun, elaborato da Viggo Brun nel 1919.

Egli ha mostrato che la somma dei reciproci dei numeri primi gemelli (coppie di numeri primi che differiscono di 2) converge a una costante, chiamata col suo nome.

È indicata solitamente con B₂:

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }$

in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi è divergente. Questo significa che anche se ci fossero infiniti primi gemelli (come ipotizzato dalla celebre congettura) questi sarebbero "una frazione infinitesima dei numeri primi".

Calcolando i numeri primi gemelli fino a 10¹⁴ (e scoprendo nel frattempo il Pentium FDIV bug), Thomas R. Nicely ha stimato euristicamente un valore di 1,902160578 per la costante di Brun. La migliore stima al giorno d'oggi è stata fornita da Pascal Sebah e Patrick Demichel nel 2002 che, usando tutti i numeri primi gemelli fino a 10¹⁶, hanno fornito l'approssimazione

B₂ ≈ 1,902160583104.

Esiste anche una costante di Brun per i numeri primi quadrupli. Una quadrupla di primi è una coppia di coppie di numeri primi gemelli, separati da una distanza di 4 (la minore distanza possibile). Le prime quadruple sono (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La costante di Brun per i numeri primi quadrupli, indicata con B₄, è la somma dei reciproci di tutti i numeri primi quadrupli:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

e ha il valore:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Questa costante non deve essere confusa con la costante di Brun per i numeri primi cugini, cioè coppie di numeri primi della forma (p, p + 4), anch'essa scritta come B₄.

• Teorema di Brun
• Numero primo gemello
• Congettura dei numeri primi gemelli
• Costante di Meissel-Mertens

• (EN) Articolo sull'enumerazione dei numeri primi gemelli e sulla costante di Brun, su trnicely.net. URL consultato il 13 settembre 2005 (archiviato dall'url originale l'8 dicembre 2013).
• (EN) Calcolo della costante di Brun, su numbers.computation.free.fr. URL consultato il 13 settembre 2005 (archiviato dall'url originale il 24 dicembre 2019).

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