Diffeomorfismo di Anosov

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In matematica, più particolarmente nel campo dei sistemi dinamici e della topologia, una mappa di Anosov su una varietà ${\displaystyle M}$ è un tipo di mappa, da ${\displaystyle M}$ in sé, avente delle evidenti direzioni locali di "espansione" e "contrazione". I sistemi di Anosov sono casi speciali di sistemi di tipo assioma A.

I diffeomorfismi di Anosov furono introdotti da Dmitri Anosov, che dimostrò che il loro comportamento era, in un particolare senso, "generico" (quando essi esistono)^[1].

Si devono distinguere tre definizioni strettamente correlate:

• Se una mappa differenziabile ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle M}$ ha una struttura iperbolica sul fibrato tangente, allora è chiamata una mappa di Anosov. Esempi di questo tipo sono le mappe di Bernoulli e la mappa del gatto di Arnold.

• Se la mappa è un diffeomorfismo, allora prende il nome di diffeomorfismo di Anosov.

• Se un flusso su una varietà suddivide il fibrato tangente in tre sottofibrati invarianti, di cui uno esponenzialmente contraente, uno esponenzialmente dilatante e un terzo che sia un sottofibrato monodimensionale non dilatante (attraversato dalla direzione del flusso), allora il flusso è detto flusso di Anosov.

Un classico esempio di diffeomorfismo di Anosov è la mappa del gatto di Arnold.

Anosov dimostrò che il diffeomorfismo di Anosov è strutturamente stabile e forma un insieme aperto di mappe (flusso) con la topologia ${\displaystyle C^{1}}$.

Non ogni varietà ammette un diffeomorfismo di Anosov; per esempio, non ci sono diffeomorismi di questo tipo sulla sfera. I più semplici esempi di varietà compatte che li ammettono sono i tori: essi ammettono i cosiddetti diffeomorfismi lineari di Anosov che sono isomorfismi che non hanno autovalori di modulo 1. È stato dimostrato che ogni altro diffeomorfismo di Anosov su un toro è topologicamente equivalente a questi ultimi.

Un problema aperto è capire se ogni diffeomorfismo di Anosov sia transitivo. Tutti i diffeomorfismi di Anosov noti, lo sono. Una condizione sufficiente per la transitività è la non ricorrenza: ${\displaystyle \Omega (f)=M}$.

È noto altresì che ogni diffeomorfismo di Anosov ${\displaystyle C^{1}}$ che conserva il volume è ergodico. Anosov lo ha dimostrato nell'ipotesi ${\displaystyle C^{2}}$. È vero anche per diffeomorfismi di Anosov ${\displaystyle C^{1+\alpha }}$ che conservano il volume.

Per diffeomorfismi di Anosov ${\displaystyle C^{2}}$ transitivi ${\displaystyle f\colon M\to M}$ esiste un'unica misura SRB (Sinai, Ruelle e Bowen) ${\displaystyle \mu _{f}}$ supportata su ${\displaystyle M}$ tale che il suo bacino ${\displaystyle B(\mu _{f})}$ sia di pieno volume dove

${\displaystyle B(\mu _{f})=\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\}.}$

Come esempio, questa sezione sviluppa il caso del flusso di Anosov sul fibrato tangente di una superficie di Riemann a curvatura negativa. Questo flusso può essere pensato in termini di flusso sul fibrato tangente in un semispazio di Poincaré della geometria iperbolica. Le superfici di Riemann a curvatura negativa possono essere definite come modelli di Fuchs, cioè come quoziente del semipiano superiore (il sottoinsieme di ${\displaystyle C}$ tale che ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)>0}$) e del gruppo di Fuchs.