Funzione gamma incompleta

Le funzioni gamma incomplete sono funzioni speciali definite da integrali.

Con le notazione di Abramowitz e Stegun:

${\displaystyle \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{a-1}dt,}$

${\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{a-1}dt,}$

${\displaystyle P(a,x)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{x}e^{-t}t^{a-1}dt,}$

dove ${\displaystyle \Gamma (a)}$ è la funzione gamma di Eulero.

Con le notazione di Nielsen:

${\displaystyle P_{x}(a)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{a-1}dt=\gamma (a,x),}$

${\displaystyle Q_{x}(a)=\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{a-1}dt=\Gamma (a,x),}$

${\displaystyle \Gamma (a,x)+\gamma (a,x)=\Gamma (a)}$

${\displaystyle \Gamma (a,0)=\Gamma (a)}$

La funzione degli errori è una funzione gamma incompleta:

${\displaystyle \gamma (1/2,x^{2})={\sqrt {\pi }}\mathrm {erf} (x)}$

La funzione integrale esponenziale è una funzione gamma incompleta:

${\displaystyle \Gamma (0,x)=E_{1}(x)}$

È possibile esprimere la funzione ${\displaystyle \gamma (a,x)}$ con la funzione ipergeometrica confluente o la funzione di Whittaker:

${\displaystyle \gamma (a,x)=a^{-1}x^{a}e^{-x}M(1,1+a,x)}$

È possibile ricondurre la somma dei reciproci dei fattoriali da 0 a ${\displaystyle n}$ all'espressione

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {e\Gamma (n+1,1)}{\Gamma (n+1)}}}$

La derivate della funzione ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ superiore e incompleta rispetto alla variabile x è ben nota. Essa è semplicemente data dall'integranda della funzione integrale presente nella sua definizione, ovvero:

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial x}}=-x^{a-1}e^{-x}}$

La derivata rispetto alla prima variabile invece è data da^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial a}}=\ln(x)\Gamma (a,x)+x~T(3,a,x)}$

mentre la derivate seconda è data da

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (a,x)}{\partial a^{2}}}=\ln ^{2}(x)\Gamma (a,x)+2x~(\ln(x)~T(3,a,x)+T(4,a,x))}$

dove la funzione ${\displaystyle T(m,a,x)}$ è un caso speciale della G-funzione di Meijer:

${\displaystyle T(m,a,z)=G_{m-1,m}^{~m,~0}\left(x\left|{\begin{array}{c}0,0,\ldots 0\\-1,-1,\ldots ,a-1,-1\end{array}}\right.\right)~.}$

Questo particolare caso speciale ha la proprietà di essere chiuso internamente ovvero può essere usato per esprimere tutte le derivate successive. In generale si ha che

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (a,x)}{\partial a^{m}}}=\ln ^{m}(x)\Gamma (a,x)+mx~\sum _{i=0}^{m-1}P_{i}^{m-1}\ln ^{m-i-1}(x)~T(3+i,a,x)}$

dove ${\displaystyle P_{j}^{i}}$ è la permutazione definita attraverso il simbolo di Pochhammer, ovvero

${\displaystyle P_{j}^{i}=\left({\begin{array}{l}i\\j\end{array}}\right)j!={\frac {i!}{(i-j)!}}~.}$

Tutte le derivate possono essere ottenute in successione partendo da

${\displaystyle {\frac {\partial T(m,a,x)}{\partial a}}=\ln(x)~T(m,a,x)+(m-1)T(m+1,a,x)}$

e

${\displaystyle {\frac {\partial T(m,a,x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{x}}(T(m-1,a,x)+T(m,a,x))}$

La funzione T(m,a,x) può essere calcolata usando la sua rappresentazione in serie che risulta essere valida quando ${\displaystyle |z|<1}$, ovvero

${\displaystyle T(m,a,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left.(\Gamma (a-t)z^{t-1})\right]_{t=0}+\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}z^{a-1+i}}{i!(-a-i)^{m-1}}}}$

Nell'espressione sopra si assume che s sia un intero non negativo o zero e il suo valore richiede il calcolo di un limite. Il caso ${\displaystyle |z|\geq 1}$ può essere analizzato usando l'estensione analitica della funzione. Alcuni casi speciali di questa funzione sono

${\displaystyle T(2,a,x)={\frac {\Gamma (a,x)}{x}}}$

e

${\displaystyle x~T(3,1,x)=E_{1}(x)}$

dove ${\displaystyle E_{1}(x)}$ è la funzione integrale esponenziale. Queste derivate e la funzione T(m,a,x) possono essere utilizzate per fornire soluzioni esatte ad un certo numero di integrali attraverso la derivazione ripetuta della definizione integrale della funzione gamma superiore e incompleta. Per esempio,

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }t^{a-1}\ln ^{m}(t)~e^{-t}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial a^{m}}}\int _{x}^{\infty }t^{a-1}e^{-t}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial a^{m}}}\Gamma (a,x)}$

Questa formula può essere ulteriormente estesa o generalizzata per una ampia classe di trasformate di Laplace e di Mellin. Quando combinata con un sistema algebrico computerizzato, lo studio delle funzioni speciali fornisce un potente strumento per la soluzione di integrali definiti, in particolare quelli utilizzati nelle applicazioni ingegneristiche^[2] (vedere anche integrazione simbolica per maggiori dettagli).

• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) p. 260
• N. Nielsen Handbuch der theorie der Gammafunktionen (Teubner, Leipzig, 1906) (Capitolo II e Capitolo XV).

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione gamma incompleta

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione gamma incompleta, su MathWorld, Wolfram Research.

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