Indice di Divisia

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L'indice di Divisia, dal nome dell'economista francese François-Jean-Marie Divisia, è un indice definito in ambito continuo utilizzato per la misurazione delle variazioni nei volumi e nei prezzi di determinati aggregati.

Adattamenti al caso discreto dell'indice di Divisia, e quindi sue approssimazioni empiriche, sono:

• l'indice di Laspeyres;
• l'indice di Paasche;
• l'indice di Fisher;
• l'indice di Törnqvist.

Il valore di un aggregato risulta uguale alla somma delle quantità degli elementi che lo compongono moltiplicati per i rispettivi prezzi. Indicando con ${\displaystyle \ X_{t}}$ il valore dell'aggregato X al tempo t, con ${\displaystyle \ p_{it}}$ e ${\displaystyle \ q_{it}}$, rispettivamente, il prezzo e la quantità dell'elemento i al tempo t, avremo:

${\displaystyle \ X_{t}=\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}$

Derivando rispetto al tempo e dividendo per ${\displaystyle \ X_{t}}$ otteniamo:

${\displaystyle {\frac {{\dot {X}}_{t}}{X_{t}}}=\sum _{i}{\frac {q_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}{\dot {p}}_{it}+\sum _{i}{\frac {p_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}{\dot {q}}_{it}}$

dove ${\displaystyle \ {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}}$.

Dall'equazione precedente otteniamo:

${\displaystyle {\frac {{\dot {X}}_{t}}{X_{t}}}=\sum _{i}v_{it}{\frac {{\dot {p}}_{it}}{p_{it}}}+\sum _{i}v_{it}{\frac {{\dot {q}}_{it}}{q_{it}}}}$

dove ${\displaystyle \ v_{it}}$ è la quota di i sul totale nel periodo t, ovvero:

${\displaystyle v_{it}={\frac {q_{it}p_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}}$

Essendo:

${\displaystyle {\frac {d\log x}{dt}}={\frac {\dot {x}}{x}}}$

una formulazione alternativa è:

(1) ${\displaystyle \ {\frac {d\log X_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}+\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}}$

Nelle equazioni precedenti il primo addendo rappresenta la variazione dell'aggregato osservabile a seguito della variazione dei prezzi, costanti le quantità, mentre il secondo registra i cambiamenti imputabili alle variazioni nei volumi, costanti i prezzi.

In caso di un solo bene avremmo:

${\displaystyle \ X_{t}=P_{t}\ Q_{t}}$

da cui:

(2) ${\displaystyle \ {\frac {d\log X_{t}}{dt}}={\frac {d\log P_{t}}{dt}}+{\frac {d\log Q_{t}}{dt}}}$

Notando il parallelismo tra la (1) e la (2) possiamo scrivere:

${\displaystyle \ {\frac {d\log P_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}}$

${\displaystyle \ {\frac {d\log Q_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}}$

Consideriamo la prima equazione. Dato un anno base (0), la variazione dell'indice tra l'anno base ed un anno T sarà dato da:

${\displaystyle \int _{0}^{T}{\frac {d\log P_{t}}{dt}}dt=\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt}$

da cui, integrando, otteniamo:

${\displaystyle \log {\frac {P_{T}}{P_{0}}}=\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt}$

L'indice dei prezzi di Divisia è dunque uguale a:

${\displaystyle {\frac {P_{T}}{P_{0}}}=\exp \left(\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt\right)}$

Analogamente, l'indice dei volumi di Divisia è dato da:

${\displaystyle {\frac {Q_{T}}{Q_{0}}}=\exp \left(\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}\right)dt\right)}$

• Indice di Laspeyres
• Indice di Paasche
• Indice di Fisher
• Indice di Törnqvist

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