Integrale ellittico

In matematica, e particolarmente nel calcolo integrale, un integrale ellittico è una qualsiasi funzione ${\displaystyle f}$ che può esprimersi nella forma:

${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R(t,P(t))\ dt}$

dove ${\displaystyle R}$ denota una funzione razionale dei suoi due argomenti, ${\displaystyle P}$ è la radice quadrata di un polinomio in una variabile di grado ${\displaystyle 3}$ o ${\displaystyle 4}$ privo di radici multiple e ${\displaystyle c}$ è una costante. La funzione ${\displaystyle R}$ contiene almeno una potenza dispari di ${\displaystyle P}$, mentre ${\displaystyle R^{2}}$ non ha fattori ripetuti.^[1]

Il concetto di integrale ellittico è emerso originariamente in connessione con il problema del calcolo della lunghezza degli archi di un'ellisse. I primi ad interessarsene e studiarli sono stati Fagnano ed Eulero.

In generale, gli integrali ellittici non possono essere espressi in termini di funzioni elementari; si hanno eccezioni a questo fatto quando ${\displaystyle P}$ ha radici ripetute, o quando ${\displaystyle R(x,y)}$ non contiene potenze dispari di ${\displaystyle y}$. Comunque, con appropriate riduzioni delle formule ogni integrale ellittico può essere riportato a una forma che coinvolge integrali di funzioni razionali, e le tre forme canoniche: integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Oltre alle forme sopra definite, gli integrali ellittici possono essere espressi nella forma di Legendre e nella forma simmetrica di Carlson. Ulteriori informazioni nella teoria degli integrali incompleti possono essere ricavate tramite l'utilizzo della trasformazione di Schwarz-Christoffel.

Le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici, e in particolare la ${\displaystyle F}$ tale che si abbia ${\displaystyle F({\textrm {sn}}(z;k);k)=z}$, dove ${\displaystyle {\textrm {sn}}}$ denota una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

Gli integrali ellittici sono spesso espressi come funzioni di argomenti variamente definiti. Queste rappresentazioni sono completamente equivalenti (danno lo stesso integrale ellittico), ma possono confondere a causa del loro differente aspetto. La maggior parte dei testi utilizza uno schema canonico di nomi degli argomenti:

• ${\displaystyle k}$ è il modulo ellittico (o eccentricità)
• ${\displaystyle m=k^{2}}$ è il parametro
• ${\displaystyle \alpha }$ è l'angolo modulare, con ${\displaystyle k=\sin \alpha }$.

Si nota che una volta che si assegna una qualsiasi di queste relazioni, le altre ne sono completamente determinate. Gli integrali ellittici dipendono anche da un altro argomento ${\displaystyle \phi }$, ossia l'ampiezza, anche definito come il parametro ${\displaystyle u}$ dato da ${\displaystyle x=\sin \phi ={\textrm {sn}}\;u}$, con ${\displaystyle {\textrm {sn}}}$ una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

Alcune relazioni addizionali che coinvolgono ${\displaystyle u}$ includono:

${\displaystyle \cos \phi ={\textrm {cn}}\;u\qquad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}={\textrm {dn}}\;u}$

dove la seconda è nota come delta ampiezza, ed è scritta come ${\displaystyle \Delta (\phi )={\textrm {dn}}\;u}$. A volte in letteratura è chiamata anche modulo complementare.

L'Integrale ellittico incompleto di prima specie ${\displaystyle F}$ è definito, nella forma di Jacobi, come:

${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ dt}$

Equivalentemente, usando una notazione alternativa:

${\displaystyle F(x;k)=F(\phi |m)=F(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}}\ d\theta }$

dove si comprende che quando si usa la barra verticale, l'argomento che segue la barra verticale è il parametro (come definito sopra), e quando si usa la barra retroversa l'argomento è il modulo angolare. Si noti che:

${\displaystyle F(x;k)=u}$

con ${\displaystyle u}$ definito come sopra: le funzioni ellittiche di Jacobi sono collegate alle inverse degli integrali ellittici.

L'integrale ellittico incompleto di seconda specie ${\displaystyle E}$ è dato da:

${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt}$

In maniera equivalente, usando la notazione alternativa:

${\displaystyle E(x;k)=E(\phi |m)=E(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$

In statistica tale tipologia di integrale può essere utilizzato per rappresentare la lunghezza di curve continue crescenti come la curva di Lorenz (o spezzata di Lorenz) dove ${\displaystyle \phi =1}$ e ${\displaystyle \theta =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n})}$ che indica il vettore dei parametri che individua l'elemento particolare nella famiglia di funzioni individuate dallo stesso integrale.

Ulteriori relazioni includono:

${\displaystyle E(\phi |m)=\int _{0}^{u}{\textrm {dn}}^{2}w\;dw=u-m\int _{0}^{u}{\textrm {sn}}^{2}w\;dw=(1-m)u+m\int _{0}^{u}{\textrm {cn}}^{2}w\;dw}$

L'integrale ellittico incompleto di terza specie ${\displaystyle \Pi }$ è:

${\displaystyle \Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1-k^{2}t^{2})(1-t^{2})}}}\ dt}$

oppure:

${\displaystyle \Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {1}{\sqrt {(1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta )}}}\ d\theta }$

o anche:

${\displaystyle \Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{u}{\frac {1}{1-n{\textrm {sn}}^{2}(w|m)}}\;dw}$

Il numero ${\displaystyle n}$ si chiama caratteristica, e può assumere qualsiasi valore indipendentemente dagli altri argomenti. Si noti che il valore ${\displaystyle \Pi (1;\pi /2|m)}$ è infinito per qualsiasi valore di ${\displaystyle m}$.

L'integrale ellittico completo di prima specie ${\displaystyle K}$ è definito come segue:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ dt}$

e può essere calcolato in termini di media aritmetica-geometrica.

Può anche essere calcolato con il seguente sviluppo in serie di Taylor:

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }k^{2n}{\frac {((2n)!)^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}}$

oppure in forma di integrale del seno, quando ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$

L'integrale ellittico completo di prima specie è chiamato qualche volta in letteratura anglofona quarter period.

L'integrale ellittico completo di seconda specie ${\displaystyle E}$ è definito come:

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt}$

Può anche essere calcolato con il seguente sviluppo in serie di Taylor:

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}(-1)^{n}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$

oppure in forma di integrale del seno, quando ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$:

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$

• (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Vedi capitolo 17, pp. 587-627.
• (EN) George Greenhill The applications of elliptic functions (London, MacMillan, 1892) (pp. 30–65, pp. 175–253)
• (EN) Harris Hancock Elliptic integrals (New York, J. Wiley, 1917)
• (EN) Louis Vessot King On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals^{[collegamento interrotto]} (Cambridge University Press, 1924)
• (EN) B. C. Carlson Three Improvements in Reduction and Computation of Elliptic Integrals Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology, '107, P. 413 (2002) (forma simmetrica di Carlson)

• Funzione ellittica
• Funzione razionale
• Forma di Legendre
• Forma simmetrica di Carlson
• Mappa di Schwarz-Christoffel

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Integrale ellittico

• (EN) E.D. Solomentsev, Elliptic integral, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) elliptic integral, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Integrale ellittico, su MathWorld, Wolfram Research.

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