Modello (logica matematica)

Un modello di una teoria formale, in logica matematica, è una struttura in cui vengono interpretati gli enunciati della teoria. Sebbene la seguente definizione faccia riferimento alla teoria dei modelli, gli esempi e le definizioni successive fanno riferimento a teoria e logica del primo ordine.

Per una data teoria in teoria dei modelli, una struttura è definita come modello se

  1. il linguaggio usato da è lo stesso usato nella teoria ,
  2. ogni proposizione in è soddisfatta da ,

dove

  1. è un dominio (di discorso o di interpretazione),
  2. è una firma (signature),
  3. è una funzione di interpretazione.

Il dominio di una struttura è definito come un insieme arbitrario; è anche detto dominio di discorso in quanto contiene gli elementi dell'ambiente sul quale si vuole effettuare una descrizione o un ragionamento.

Si noti che, se il dominio è usato in una struttura per la logica del primo ordine, allora non può essere vuoto.

La signature di una struttura è un definita formalmente come una coppia i cui elementi sono

  1. , l'insieme di simboli di costanti, funzioni o relazioni, ciascuno con un'arietà;
  2. una funzione , detta di arietà, che associa ad ogni simbolo in il numero di argomenti che il simbolo accetta.

Per definizione simboli costanti sono tali che .

Funzione di interpretazione

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Una funzione di interpretazione di una struttura è una funzione che assegna funzioni e relazioni ai simboli definiti nella signature ed è tale che:

  1. , con simbolo costante nel dominio di interpretazione;
  2. , con simbolo funzionale con arietà e nel dominio di interpretazione;
  3. , con simbolo relazionale con arietà e nel dominio di interpretazione.

Un esempio di dominio di discorso, può essere un insieme di persone che siamo interessati a descrivere, ad esempio .

Un esempio di signature può essere una coppia , dove

  • , con
    • simbolo funzionale,
    • simbolo relazionale,
    • e simboli costanti;
  • funzione di arietà tale che:

Facendo riferimento agli esempi di dominio e signature visti sopra, una possibile funzione di interpretazione può essere tale che:

  • tale che

Soddifacibilità per logiche del primo ordine

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Un modello per una formula ben formata di un linguaggio del primo ordine è un modello per il linguaggio in cui l'interpretazione della formula risulti vera. Una formula è detta

  • valida se è vera per tutti i modelli;
  • soddisfacibile se esiste almeno un modello rispetto al quale è vera;
  • insoddisfacibile se non esiste nessun modello in cui è vera.

Per esempio, una formula valida può essere , una soddisfacibile può essere , una insoddisfacibile può essere .

Modelli di teorie assiomatiche

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Un modello per una teoria del primo ordine è un modello per il suo linguaggio per cui siano vere tutte le formule che sono assiomi della teoria, e di conseguenza saranno verificate nel modello tutte le formule corrispondenti ai teoremi della teoria.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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