Il modello di Hodgkin-Huxley è un modello matematico che descrive il processo di depolarizzazione della membrana cellulare . Storicamente questo è stato il primo modello creato per descrivere questo processo, per il quale i suoi scopritori, i fisiologi Alan Lloyd Hodgkin e Andrew Huxley , hanno vinto il Premio Nobel per la Fisiologia nel 1963. Questo modello è stato dedotto da numerose osservazioni sperimentali utilizzando gli assoni giganti dei calamari . Di seguito sono riportate le equazioni che lo definiscono:
{ a R i ∂ 2 v ( z , t ) ∂ z 2 = C m ∂ v ( z , t ) ∂ t + ( v ( z , t ) + V N a ) g N a ( v ) + ( v ( z , t ) − V K ) g K ( v ) + ( v ( z , t ) − V L ) g L g K = g K ¯ n ( v , t ) 4 d n ( v , t ) d t = α n [ 1 − n ( v , t ) ] − β n n ( v , t ) α n = f α n v + V α n e v + V α n V α n − 1 β n = f β n e v V β n g N a = g N a ¯ m ( v , t ) 3 h ( v , t ) d m ( v , t ) d t = α m [ 1 − m ( v , t ) ] − β m m ( v , t ) d h ( v , t ) d t = α h [ 1 − h ( v , t ) ] − β h h ( v , t ) α m = f α n v + V α m 1 e v + V α m 1 V α m 2 − 1 β m = f β m e v V β m α h = f α h e v V α h β h = f β h 1 e v + V β m 1 V β m 2 + 1 {\displaystyle {\displaystyle {\begin{cases}{\displaystyle {\frac {a}{R_{i}}}{\frac {\partial ^{2}v(z,t)}{\partial z^{2}}}=C_{m}{\frac {\partial v(z,t)}{\partial t}}+\left(v(z,t)+V_{Na}\right)\ g_{Na}(v)+\left(v(z,t)-V_{K}\right)\ g_{K}(v)+\left(v(z,t)-V_{L}\right)\ g_{L}}\\\\{\displaystyle g_{K}={\overline {g_{K}}}\ n(v,t)^{4}}\\\\{\displaystyle {\frac {d\ n(v,t)}{dt}}=\alpha _{n}\left[1-n(v,t)\right]-\beta _{n}\ n(v,t)}\\\\{\displaystyle \alpha _{n}=f_{\alpha _{n}}\ {\frac {v+V_{\alpha _{n}}}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\alpha _{n}}}{V_{\alpha _{n}}}}-1}}}\\\\{\displaystyle \beta _{n}=f_{\beta _{n}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\beta _{n}}}}}\\\\g_{Na}={\overline {g_{Na}}}\ m(v,t)^{3}\ h(v,t)\\\\{\frac {d\ m(v,t)}{dt}}=\alpha _{m}\left[1-m(v,t)\right]-\beta _{m}\ m(v,t)\\\\{\frac {d\ h(v,t)}{dt}}=\alpha _{h}\left[1-h(v,t)\right]-\beta _{h}\ h(v,t)\\\\\alpha _{m}=f_{\alpha _{n}}\ {\frac {v+V_{\alpha _{m1}}}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\alpha _{m1}}}{V_{\alpha _{m2}}}}-1}}\\\\\beta _{m}=f_{\beta _{m}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\beta _{m}}}}\\\\\alpha _{h}=f_{\alpha _{h}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\alpha _{h}}}}\\\\\beta _{h}=f_{\beta _{h}}\ {\frac {1}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\beta _{m1}}}{V_{\beta _{m2}}}}+1}}\end{cases}}}}
Le costanti valgono:
g K ¯ = 24.31 mS cm − 2 {\displaystyle {\overline {g_{K}}}=24.31{\text{mS}}\ {\text{cm}}^{-2}}
f α n = 0.01 s − 1 {\displaystyle \ f_{\alpha _{n}}=0.01\ {\text{s}}^{-1}}
V α n = 10 mV {\displaystyle \ V_{\alpha _{n}}=10\ {\text{mV}}}
f β n = 0.125 s − 1 {\displaystyle \ f_{\beta _{n}}=0.125\ {\text{s}}^{-1}}
V β n = 10 mV {\displaystyle \ V_{\beta _{n}}=10\ {\text{mV}}}
n 0 = 0.316 mV {\displaystyle \ n_{0}=0.316\ {\text{mV}}}
V K = 12 mV {\displaystyle \ V_{K}=12\ {\text{mV}}}
f α m = 0.1 s − 1 {\displaystyle \ f_{\alpha _{m}}=0.1\ {\text{s}}^{-1}}
V α m 1 = 25 mV {\displaystyle \ V_{\alpha _{m1}}=25\ {\text{mV}}}
V α m 2 = 10 mV {\displaystyle \ V_{\alpha _{m2}}=10\ {\text{mV}}}
f β m = 4 s − 1 {\displaystyle \ f_{\beta _{m}}=4\ {\text{s}}^{-1}}
V β m = 18 mV {\displaystyle \ V_{\beta _{m}}=18\ {\text{mV}}}
f α h = 0.07 s − 1 {\displaystyle \ f_{\alpha _{h}}=0.07\ {\text{s}}^{-1}}
V α h = 20 mV {\displaystyle \ V_{\alpha _{h}}=20\ {\text{mV}}}
f β h = 1 s − 1 {\displaystyle \ f_{\beta _{h}}=1\ {\text{s}}^{-1}}
V β m 1 = 30 mV {\displaystyle \ V_{\beta _{m1}}=30\ {\text{mV}}}
V β m 2 = 10 mV {\displaystyle \ V_{\beta _{m2}}=10\ {\text{mV}}}
g N a ¯ = 70.7 mS cm − 2 {\displaystyle {\overline {g_{Na}}}=70.7{\text{mS}}\ {\text{cm}}^{-2}}
h 0 = 0.607 {\displaystyle \ h_{0}=0.607}
m 0 = 0 {\displaystyle \ m_{0}=0}
V N a = 115 mV {\displaystyle \ V_{Na}=115\ {\text{mV}}}
C m = 1 μ F cm − 2 {\displaystyle \ C_{m}=1\ \mu {\text{F}}\ {\text{cm}}^{-2}}
V L = − 10.61 mV {\displaystyle \ V_{L}=-10.61\ {\text{mV}}}
g L = 0.3 mS cm − 2 {\displaystyle \ g_{L}=0.3\ {\text{mS}}\ {\text{cm}}^{-2}}
R i = 35.4 Ω cm − 2 {\displaystyle \ R_{i}=35.4\ \Omega \ {\text{cm}}^{-2}}
a = 238 ⋅ 10 − 4 cm {\displaystyle \ a=238\cdot 10^{-4}\ {\text{cm}}}
La complessità di questo modello è tale da non consentirne una risoluzione analitica. Finora è stato studiato con successo grazie a numerose simulazioni numeriche confrontate con i dati sperimentali.
Una notevole semplificazione del modello di Hodgkin e Huxley è quello di FitzHugh-Nagumo .
Ultimamente un nuovo modello termodinamico è soggetto di molte attenzioni per il suo valore sperimentale, il modello del solitone , che spiega molti dei fenomeni non trattati dal modello di Hodgkin e Huxley, come per esempio il cambio di temperatura con scambio netto 0 al passaggio dell'impulso elettrico e il cambiamento di densità della membrana cellulare.
(EN ) Potenziale d'azione (PDF ), su sfn.org . URL consultato il 18 aprile 2012 (archiviato dall'url originale l'11 febbraio 2012) . Christof J Schwiening, A brief historical perspective: Hodgkin and Huxley , in The Journal of Physiology , vol. 590, Pt 11, 1º giugno 2012, pp. 2571–2575, DOI :10.1113/jphysiol.2012.230458 . URL consultato il 20 gennaio 2018 . (EN ) A. L. Hodgkin, F. R. S e A. F. Huxley, Propagation of electrical signals along giant nerve fibres , in Proc. R. Soc. Lond. B , vol. 140, n. 899, 16 ottobre 1952, pp. 177–183, DOI :10.1098/rspb.1952.0054 . URL consultato il 22 gennaio 2018 . A. L. Hodgkin e A. F. Huxley, Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of Loligo , in The Journal of Physiology , vol. 116, n. 4, April 1952, pp. 449–472. URL consultato il 22 gennaio 2018 . A. L. Hodgkin e A. F. Huxley, The components of membrane conductance in the giant axon of Loligo , in The Journal of Physiology , vol. 116, n. 4, April 1952, pp. 473–496. URL consultato il 22 gennaio 2018 . A. L. Hodgkin e A. F. Huxley, The dual effect of membrane potential on sodium conductance in the giant axon of Loligo , in The Journal of Physiology , vol. 116, n. 4, April 1952, pp. 497–506. URL consultato il 22 gennaio 2018 . (EN ) A. L. Hodgkin e A. F. Huxley, A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve , in The Journal of Physiology , vol. 117, n. 4, 28 agosto 1952, pp. 500–544, DOI :10.1113/jphysiol.1952.sp004764 . URL consultato il 18 gennaio 2018 .