In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.
Sia , e sia una catena omologa a zero in . Sia una funzione meromorfa su , con un numero finito di zeri e poli, , non appartenenti al supporto della curva . Allora
dove
è l'ordine della funzione
in
, definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della
serie di Laurent della funzione
centrata in
, per ogni
.
Sia . Allora la funzione è olomorfa in . Se si proverà che , dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.
Consideriamo la serie di Laurent della funzione centrata in , la quale, per semplicità, la scriviamo come , dove denota l'ordine della funzione nel punto , ed è una funzione olomorfa in tale che , per ogni . Quindi vale che
dove la funzione
è olomorfa in
, per ogni
. Di conseguenza,
, per ogni
.
Sia , e sia una funzione meromorfa su . Sia una curva chiusa semplice in tale che l'interno di sia contenuto in , ed il supporto di non contenga zeri o poli della funzione . Allora
dove
ed
indicano rispettivamente il numero di zeri e poli (contati con i loro ordini) interni alla curva
.