Prodotto vuoto

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In matematica si usa l'espressione prodotto vuoto (o prodotto nullario) quando in una moltiplicazione non ci sono fattori. Una tale situazione può capitare ad esempio in una produttoria come

${\displaystyle \prod _{i=2}^{1}x_{i}}$

in cui l'indice inferiore è maggiore dell'indice superiore. In questa produttoria infatti non ci sono indici che soddisfano entrambe le condizioni (cioè l'intervallo ${\displaystyle [2,1]}$ è vuoto), quindi non esistono fattori che possono essere moltiplicati.

Si potrebbe cadere nell'errore di credere che un prodotto vuoto non sia definibile, o che ricada in qualche errore concettuale. Invece il risultato di un prodotto vuoto è semplicemente uno.

Lo si può capire pensando che l'1 è l'elemento neutro della moltiplicazione, cioè il risultato che si ottiene quando "non si modifica nulla". Altrimenti si può ritrovare con un semplice calcolo: prendiamo ad esempio il prodotto ${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}}$ e dividiamo uno dopo l'altro per tutti i fattori. Togliendo ${\displaystyle x_{4}}$ rimane

${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\cdot {\frac {1}{x_{4}}}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}}$

e così via:

${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}\cdot {\frac {1}{x_{2}}}=x_{1}}$

${\displaystyle x_{1}\cdot {\frac {1}{x_{1}}}=1}$

per definizione di elemento inverso della moltiplicazione. Dunque togliendo tutti i fattori, cioè rimanendo con il prodotto vuoto, il risultato che esce è proprio 1.

La definizione di prodotto vuoto può essere basata su quella di somma vuota. Infatti, per ogni base ${\displaystyle b>0\land b\neq 1}$ vale che

${\displaystyle \log _{b}n+\log _{b}m=\log _{b}nm}$

e quindi che

${\displaystyle b^{\log _{b}n+\log _{b}m}=nm}$

o più generalmente

${\displaystyle \prod _{i}x_{i}=b^{\sum _{i}\log _{b}x_{i}}}$

Dunque, se l'esponente del secondo membro è la somma vuota (che dà come risultato 0), il prodotto vuoto che sta al primo membro sarà 1, poiché ${\displaystyle b^{0}=1}$.^[1]

Se nella definizione di prodotto cartesiano supponiamo che l'insieme di indici sia vuoto, l'unica funzione che soddisfa la richiesta è la funzione vuota:

${\displaystyle \prod \varnothing =\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \}.}$

Dunque, la cardinalità del prodotto cartesiano vuoto di insiemi è 1.

• Moltiplicazione
• Produttoria
• Somma vuota

• Prodotto vuoto Archiviato il 16 maggio 2008 in Internet Archive. su PlanetMath

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