Traslazione nel piano complesso

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In geometria, dati il numero complesso ${\displaystyle v=p+iq}$ e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto ${\displaystyle Q(v)=Q(p,q)}$, per traslazione di vettore ${\displaystyle {\vec {v}}=(p,q)}$ si intende la trasformazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\vec {v}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=z+v\end{aligned}}}$

che associa al numero complesso ${\displaystyle z}$ il numero complesso ${\displaystyle z'=z+v}$.

Dalla definizione si deduce che se il punto ${\displaystyle P(z)}$, di coordinate ${\displaystyle (x,y)}$, rappresenta ${\displaystyle z}$, allora la sua immagine sarà il punto ${\displaystyle P'(z')}$ di coordinate ${\displaystyle (x',y')}$, con ${\displaystyle (x',y')=(x+p,y+q)}$, che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore ${\displaystyle {\vec {v}}=(p,q)}$,

${\displaystyle \tau _{\vec {v}}:{\begin{cases}x'=x+p\\y'=y+q.\end{cases}}}$

Quindi:

sommare a un numero complesso ${\displaystyle z=x+iy}$ il numero complesso ${\displaystyle v=p+iq}$ equivale ad applicare una traslazione di vettore ${\displaystyle (p,q)}$ al punto ${\displaystyle P}$ di coordinate ${\displaystyle (x,y)}$.

La trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\vec {v}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z-3+i\end{aligned}}}$

è la traslazione ${\displaystyle \tau _{\vec {v}}}$ di vettore ${\displaystyle {\vec {v}}=(-3,1)}$.

Per determinare la scrittura complessa della traslazione ${\displaystyle \tau }$ che porta il punto ${\displaystyle P(1+i)}$ in ${\displaystyle P'(-2-i)}$ è sufficiente osservare che ${\displaystyle P(1+i)}$ è il punto associato al numero complesso ${\displaystyle z=1+i}$, e che ${\displaystyle P'(-2-i)}$ è il punto associato al numero complesso ${\displaystyle z'=-2-i}$. Poiché sommare ad un numero complesso ${\displaystyle z=x+iy}$ il numero complesso ${\displaystyle v=p+iq}$ equivale applicare una traslazione di vettore ${\displaystyle {\vec {v}}=(p,q)}$ al punto ${\displaystyle P(z)}$ di coordinate ${\displaystyle (x,y)}$, si ha che ${\displaystyle -2-i=1+i+p+iq,}$ da cui si ottiene che ${\displaystyle p+iq=-3-2i}$.

Quindi

${\displaystyle {\begin{cases}p=-3\\q=-2.\end{cases}}}$

La traslazione richiesta è:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\vec {v}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z-3-2i.\end{aligned}}}$

Si consideri il caso in cui ${\displaystyle {\vec {v}}=(p,0)}$. La traslazione di vettore ${\displaystyle {\vec {v}}=(p,0)}$ è la trasformazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{(p,0)}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=z+v\end{aligned}}}$

che associa al numero complesso ${\displaystyle z}$ il numero complesso ${\displaystyle z'=z+v=(x+p)+iy}$.

È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ovvero modifica solo la parte reale di ${\displaystyle z}$, mentre lascia invariata la parte immaginaria.

In modo analogo se ${\displaystyle {\vec {v}}=(0,q)}$. La traslazione di vettore ${\displaystyle {\vec {v}}=(0,q)}$ è la trasformazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{(0,q)}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=z+v\end{aligned}}}$

che associa al numero complesso ${\displaystyle z}$ il numero complesso ${\displaystyle z'=z+v=x+i(y+q)}$.

È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ovvero che modifica solo la parte immaginaria di ${\displaystyle z}$, mentre lascia invariata la parte reale.

Date due traslazioni di vettori ${\displaystyle {\vec {v}}=(p,q)}$ e ${\displaystyle {\vec {u}}=(r,s)}$, la trasformazione composta

${\displaystyle \tau =\tau _{\vec {u}}\circ \tau _{\vec {v}}}$

è una traslazione di vettore ${\displaystyle {\vec {w}}={\vec {v}}+{\vec {u}}}$.

Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa: ${\displaystyle \tau =\tau _{\vec {u}}\circ \tau _{\vec {v}}=\tau _{\vec {v}}\circ \tau _{\vec {u}}}$, poiché è commutativa la somma di vettori ${\displaystyle {\vec {w}}={\vec {v}}+{\vec {u}}={\vec {u}}+{\vec {v}}}$.

In particolare una qualsiasi traslazione ${\displaystyle \tau _{\vec {v}}}$ di vettore ${\displaystyle {\vec {v}}=(p,q)}$ è data dalla composizione delle traslazioni ${\displaystyle \tau _{(p,0)}}$ e ${\displaystyle \tau _{(0,q)}}$. Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che ${\displaystyle (p,q)=(p,0)+(0,q)}$.

• Traslazione (geometria)
• Trasformazione geometrica piana

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