カルタン幾何学

カルタン幾何学^{[注 1]}（かるたんきかがく）（英: Cartan geometry）とは、微分幾何学における概念で、多様体の各点における「一次近似」がクラインの幾何学とみなせるものの事である。カルタンの幾何学はクラインの幾何学とリーマン幾何学を包括する幾何学概念として提案された。

以下、本項では特に断りがない限り、単に多様体、関数、バンドル等といった場合はC^∞級のものを考える。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考える。

カルタン幾何学の背景にあるのはクラインのエルランゲン・プログラムである。エルランゲン・プログラムは、当時「幾何学」、例えばユークリッド幾何学、双曲幾何学、球面幾何学、射影幾何学等が乱立していた状況に対し、それらを統一する手法を提案したものであり、今日の言葉で言えば、これらはいずれも等質空間の概念を使う事で統一的に記述できる事を示した。

すなわちクラインの意味での幾何学（以下単にクライン幾何学と呼ぶ）とは、リー群Gとその閉部分リー群Hの組${\displaystyle (G,H)}$を等質空間${\displaystyle M=G/H}$上に「幾何学を保つ」変換群Gが作用しており、X上の一点の等方部分群がHであるとみなしたものである。

しかしエルランゲン・プログラムには、当時すでに知られていたリーマン幾何学が記述できない、という限界があった。実際リーマン多様体は等質空間にはなっていないので、エルランゲン・プログラムでは記述できない。

カルタンの意味での幾何学（以下単にカルタン幾何学と呼ぶ）は上記の事情を背景に、クラインの幾何学とリーマン幾何学を包含する形で定義された幾何学概念である^[1]：

多様体自身にクライン幾何学の構造が入れば、すなわち${\displaystyle M=G/H}$であれば、Mの各点の接ベクトル空間は自然に${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$と同型になる。ここで${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$はそれぞれG、Hのリー代数である。

そこでちょうどリーマン幾何学の「一次近似」である接ベクトル空間がユークリッド幾何学になっているように、カルタン幾何学では、多様体Mの「一次近似」である接ベクトル空間に、クライン幾何学${\displaystyle G/H}$の「一次近似」である${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$を対応させる。このとき、多様体Mには等質空間${\displaystyle G/H}$をモデル空間とするカルタンの幾何学の構造が入っている、という。

しかしあくまで「一次近似」がクラインの幾何学と等しいだけなので、実際にはカルタン幾何学はクライン幾何学とはズレる。このズレを図るのがの曲率である。

カルタン幾何学を導入するもう一つの動機が滑りとねじれのない転がしである。これはm次元のリーマン多様体をm次元平面上「滑ったり」、「捻れたり」する事なく「転がした」ときにできる軌跡に関する研究である。

この軌跡はユークリッド幾何学をモデルにするカルタン幾何学を使うことで定式化が可能であり、曲線の発展という。ユークリッド幾何学はm次元平面上の幾何学であるので、m次元平面上の軌跡になるが、一般のクライン幾何学${\displaystyle (G,H)}$をモデルとするカルタン幾何学の発展は、${\displaystyle M=G/H}$上の軌跡となる。

本節では^[2]を参考に、2次元ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学を直観的に説明する。${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$を2次元ユークリッド空間とし、${\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})}$を${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$の合同変換群とする。すなわち${\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})}$は${\displaystyle A\in O(2)}$と${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{2}}$を使って${\displaystyle x\mapsto Ax+b}$と書ける変換全体の集合である。${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$は${\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})/O(2)}$と同一視できる。

Mを2次元多様体とし、M上に人が一人立っているとする。人が立っている場所を${\displaystyle u\in M}$とし、人の前方向をx軸、左方向をy軸とすると、接ベクトル空間の基底${\displaystyle e_{x},e_{y}\in T_{u}M}$が定義できる。Mはユークリッド空間をモデルにしているので、その人は自分の近傍をユークリッド空間だと思っている。

${\displaystyle T_{u}M}$の正規直交基底全体の集合を${\displaystyle F_{u}(M)}$とし、${\displaystyle F(M)=\cup _{u\in M}F_{u}(M)}$とすると、${\displaystyle F(M)}$は自然にM上の${\displaystyle O(2)}$-主バンドルとみなせる。以上の議論から、${\displaystyle F(M)}$の元は、M上にいる人（とその向き）であるとみなせる^{[注 2]}。

M上にいる人を${\displaystyle (e_{x},e_{y})\in F_{u}(M)}$と表すとき、その人がM上の位置（＝u）を変えずに向きだけを「無限小だけ」変えた場合、その向きの変化を表す速度ベクトルは${\displaystyle TF_{u}(M)}$の元とみなせるが、これは人の向きを変えた回転変換の微分なので、回転変換群${\displaystyle O(2)}$の無限小変換群（＝${\displaystyle O(2)}$に対応するリー代数）である${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2)}$の元であるともみなせる。

すなわち、${\displaystyle TF_{u}(M)}$の元を${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2)}$の元と対応させる事ができる：

${\displaystyle TF_{u}(M)\to {\mathfrak {o}}(2)}$

また人がM上の位置uから無限小だけ歩いた場合は、歩いたことによる${\displaystyle (e_{x},e_{y})\in F_{u}(M)}$の変化の速度ベクトルは${\displaystyle T_{u}F(M)}$の元とみなせるが、その人は自分がユークリッド空間を歩いているのだと理解しているので、速度ベクトルを${\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})}$の無限小変換群（＝${\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})}$のリー代数）である${\displaystyle {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})}$の元であるとみなす。すなわち${\displaystyle T_{u}F(M)}$の元を${\displaystyle {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})}$と対応付けて考える。

結局、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学とは、M上の${\displaystyle O(2)}$-主バンドル${\displaystyle F(M)}$で、ファイバーごとの線形写像

${\displaystyle \omega ~:~TF(M)\to {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})}$

を持ち、各${\displaystyle u\in M}$に対し、uのファイバー${\displaystyle F_{u}(M)}$の接バンドル${\displaystyle TF_{u}(M)}$へのωの制限が

${\displaystyle \omega (TF_{u}(M))\in {\mathfrak {o}}(2)}$

を満たすもので「性質の良いもの」（後述）である。

本節ではカルタン幾何学の定式化に必要となる用語を定義する。

Gをリー群とし、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$をそのリー代数とし、さらにNをGが右から作用する多様体（例えばG-主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$の全空間P）とする。

なお、NがG-主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$の全空間Pの場合には${\displaystyle {\underline {A}}_{p}}$は垂直部分空間${\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}}$の元である事が容易に示せる。

ここで${\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義は${\displaystyle h(t)}$の取り方によらずwell-defninedである。

クライン幾何学の構造を調べる準備としてモーレー・カルタン形式を導入する。

モーレー・カルタン形式は以下を満たす^[6]：

ここで${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$上のリー括弧であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-値1-形式α、βに対し、${\displaystyle [\alpha ,\beta ](X,Y):=[\alpha (X),\beta (Y)]-[\alpha (Y),\beta (X)]}$である。

上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式^[7]（英: Maurer-Cartan equation）、もしくはリー群Gの構造方程式^[8]（英: structure equation）という。

リー群Gとその閉部分リー群の組${\displaystyle (G,H)}$で${\displaystyle G/H}$が連結になるものをクライン幾何学、もしくは（カルタン幾何学のモデルになるので）モデル幾何学（英: model geometry）という^[9][10]。

${\displaystyle (G,H)}$をモデル幾何学とし、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$をそれぞれG、Hのリー代数とする。

ωをH-主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$のカルタン接続（英: Cartan connection）という。また紛れがなければMの事をカルタン幾何学という^[12]。

3つの条件の直観的な意味を説明する。

• 1つ目の条件は、${\displaystyle T_{p}P}$と${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$が同一視できる事を意味しており、前述した直観的説明のように、モデルがユークリッド幾何学であれば、Mにいる人は、自分の近傍がユークリッド空間であるとみなしているので、人の動きの速度ベクトルの集合${\displaystyle T_{p}P}$が、無限小変換全体${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})}$で記述可能である事を要請するのは自然である。
• ２つ目の条件は、各${\displaystyle u\in M}$に対し、ωが同型写像${\displaystyle A\in {\mathfrak {h}}\mapsto {\underline {A}}\in T_{p}P_{p}}$の逆写像である事を要請している。${\displaystyle {\underline {A}}}$は${\displaystyle A\in {\mathfrak {h}}}$が${\displaystyle P_{p}}$に定める無限小変換なので、前述した直観的説明からこれは自然な要請である。なお、この２つ目の条件から特に直観的説明のところで登場した以下の要件が従う：

  ${\displaystyle \omega (TP_{u})\in {\mathfrak {h}}}$

• ３つ目の条件は、前述した直観的説明から${\displaystyle u\in M}$にいる人は自分の近傍がモデル幾何学${\displaystyle (G,H)}$に似ているとみなしているので、${\displaystyle h\in H}$を右から乗じれば、${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$の元は${\displaystyle T_{h}G}$に移動してしまうので、左からも${\displaystyle h^{-1}}$を乗じて${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$に戻す随伴表現${\displaystyle \mathrm {Ad} (h^{-1})}$を作用させたものと等しくなる事を要請する。

なお、${\displaystyle \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}$は同型なので、M上定義できるカルタン幾何学には

${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\dim M}$

という制約が課せられる事になる。

カルタン接続の定義は主バンドルの接続（主接続）の接続形式の定義とよく似ているが、両者は似て非なる概念であり、H-主バンドルの主接続の接続形式はHのリー代数${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$に値を取るが、カルタン接続はGのリー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$に値を取っている。しかし、${\displaystyle (\pi ,P,\omega )}$を${\displaystyle (G,H)}$をモデル幾何学とする多様体M上のカルタン幾何学とするとき、H-主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$上定義されたカルタン接続${\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}$は、自然に

${\displaystyle Q:=P\times _{H}G\to M}$

というG-主バンドル上の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-値1-形式

${\displaystyle {\bar {\omega }}~:~TQ\to {\mathfrak {g}}}$

に拡張する事ができ^[14]、${\displaystyle {\bar {\omega }}}$はG-主バンドル${\displaystyle Q\to M}$の接続形式である^[14]。逆に${\displaystyle Q\to M}$を任意のG-主バンドルとし、${\displaystyle {\bar {\omega }}}$をQ上定義された接続形式とするとき、${\displaystyle Q\to M}$のH-部分バンドル${\displaystyle \varphi ~:~P\to Q}$で${\displaystyle \varphi _{*}(TP)\cap \ker \omega =\{0\}}$であり、しかも${\displaystyle \dim G=\dim P}$であればωのTPへの制限はP上のカルタン接続になる^[15]。

なお、モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、上記のものとは別の形の関係性をカルタン接続と主接続は満たす。詳細は後述する。

定義から分かるように、カルタン幾何学の定義は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$、およびHには依存しているが、Gには直接依存していない。これは${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$、およびHはM上のカルタン幾何学の局所的な構造を定めるのに対し、Gはクライン幾何学${\displaystyle (G,H)}$の大域的な構造を定めるものであるため、Gが不要である事による。

リー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$に対応するリー群Gは一意ではなく^{[注 4]}、これが原因で大域的な構造を定めるGはカルタン幾何学の定義に必須でないばかりか、一部の定理ではGを（${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$に対応する）別のリー群に取り替える必要が生じてしまう。

そこでGに直接言及せず、${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$を使ったカルタン幾何学の定式化も導入する。そのために以下の定義をする：

以下、特に断りがなければ、${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$が効果的である事を仮定する^{[注 6]}。ここで${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$が効果的であるとは、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$に含まれる${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$のイデアルが${\displaystyle \{0\}}$のみである事を意味する。G、Hを${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$に対応するリー群とすると、${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$が効果的である事は、${\displaystyle X=G/H}$、${\displaystyle K:=\{g\in G\mid \forall x\in X~:~gx=x\}}$とするとき、Kが離散群になる事と同値である^[18]。

本節ではカルタン幾何学の最も簡単な例として、クライン幾何学のカルタン幾何学としての構造を調べる。${\displaystyle (G,H)}$をクライン幾何学とし、${\displaystyle M=G/H}$とし、${\displaystyle u_{0}=[e]}$とする。ここで${\displaystyle [e]}$はGの単位元eの同値類である。このとき

${\displaystyle \pi ~:~g\in G\mapsto gu_{0}\in M}$

は自然にH-主バンドルとみなせる。G上のモーレー・カルタン形式${\displaystyle \omega ^{G}}$がカルタン接続の定義を満たす事を示せるので、${\displaystyle (\pi ,G,\mu )}$は${\displaystyle (G,H)}$をモデルとするカルタン幾何学になる。

リー群Gとその閉部分リー群の組${\displaystyle (G,H)}$を考える^{[注 7]}。Gの離散部分群${\displaystyle \Gamma }$で、${\displaystyle G/H}$へのGからの作用${\displaystyle G\curvearrowright G/H}$の${\displaystyle \Gamma }$への制限${\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}$が効果的なものを考える（${\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}$が効果的な事は${\displaystyle \Gamma \cap H=\{e\}}$である事と同値である）。このとき、${\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}$による商集合${\displaystyle M=\Gamma \backslash G/H}$を考える。Mが連結なとき、${\displaystyle (G,H,\Gamma )}$を局所クライン幾何学（英: locally Klein geometry）という^[20]。

局所クライン幾何学M上に以下のようにカルタン幾何学を定義できる。まず${\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H}$が効果的なので${\displaystyle P=\Gamma \backslash G}$とすると、商写像

${\displaystyle \pi ~:~P=\Gamma \backslash G\to M=\Gamma \backslash G/H}$

には自然にH-主バンドルの構造が入る^{[注 8]}。またG上のモーレー・カルタン形式${\displaystyle \omega ^{G}}$はその定義より左不変なので、商写像${\displaystyle q~:~G\to \Gamma \backslash G}$に対し

${\displaystyle \pi ^{*}(\omega ^{\Gamma \backslash G})=\omega ^{G}}$

を満たす一意な${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-値1-形式を${\displaystyle \omega ^{\Gamma \backslash G}}$とする事で、${\displaystyle P=\Gamma \backslash G}$にカルタン接続${\displaystyle \omega ^{\Gamma \backslash G}}$がwell-definedされ、${\displaystyle M=\Gamma \backslash G/H}$上に${\displaystyle (G,H)}$をモデルとするカルタン幾何学${\displaystyle (\pi ,P,\omega ^{\Gamma \backslash G})}$が定義できる^[20]。

２つのカルタン幾何学の間の（局所的および大域的な）同型概念を以下のように定義する：

任意の${\displaystyle p\in P}$に対して${\displaystyle \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}$は同型写像であるので、TPはωにより

${\displaystyle TP\approx P\times {\mathfrak {g}}}$

という同一視ができ、TPはベクトルバンドルとして自明である。

よって特に${\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}$を各${\displaystyle p\in P}$に対してωの逆写像でT_pPに移すことで、TP上のベクトル場を作る事ができる。

定数ベクトル場を用いると、以下の「普遍共変微分」を定義できる：

モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、普遍共変微分は通常の共変微分を導く。これについては後述。

本節ではカルタン幾何学が定義された多様体の接バンドルの構造を調べる。そのために以下の定義をする。

${\displaystyle (\pi ,P,\omega )}$を${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}$をモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学とする。${\displaystyle \mathrm {Ad} }$はHの${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$への作用を定義するが、${\displaystyle \mathrm {Ad} }$の${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$への制限は${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$上の随伴表現である（ので${\displaystyle \mathrm {Ad} }$は${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$を保つ）ことから、${\displaystyle \mathrm {Ad} }$はHの${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$への作用を誘導する。またHはH-主バンドルPに作用していたので、これの作用により、ベクトルバンドル

${\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

を定義できる。実はこのベクトルバンドルは接バンドルと同型である：

具体的には写像

${\displaystyle [(p,[A])]\in P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\mapsto \pi _{*}(\omega _{p}{}^{-1}(A))\in TM}$

はwell-definedであり、ベクトルバンドルとしての同型写像である^[24]。ここで${\displaystyle \omega _{p}{}^{-1}(A)}$は同型写像${\displaystyle \omega _{p}~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}$の逆写像${\displaystyle \omega _{p}{}^{-1}}$で${\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}$を${\displaystyle T_{p}P}$に移したものである。

クライン幾何学をカルタン幾何学とみなした場合、カルタン接続はモーレー・カルタン形式ω^Gと等しいので、カルタン接続は構造方程式

${\displaystyle d\omega ^{G}+{1 \over 2}[\omega ^{G},\omega ^{G}]=0}$

を満たすが、一般のカルタン幾何学は構造方程式を満たすとは限らない。そこで以下の量を考える：

Ωは（局所）クライン幾何学からのズレを表す量であると解釈でき、明らかにクライン幾何学や局所クライン幾何学の曲率は恒等的に0である。

曲率は以下を満たす：

点${\displaystyle u\in M}$のファイバーP_uにはHが単純推移的に作用するので、${\displaystyle p\in P_{u}}$をfixして、${\displaystyle h\in H\mapsto ph\in P_{u}}$によりHとP_uを同一視すると、TP_u上にモーレー・カルタン形式ω^Hが定義できる。しかもω^Hは${\displaystyle p\in P_{u}}$の取り方に依存しないことも容易に証明できる。実は曲率のP_uへの制限はω^Hに一致する。

なお、実はv、wの少なくとも一方がT_pP_uに属していれば、${\displaystyle \Omega _{p}(v,w)=0}$である事が知られている^[26]。よって特に次が成立する：

このΩ'は次節で導入する曲率関数を用いる事で具体的に記述できる。

${\displaystyle \omega _{p}T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}}$が同型写像であったことから、写像の合成

${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\wedge ^{2}T_{p}P{\overset {\Omega }{\to }}{\mathfrak {g}}}$

を定義できる。またすでに述べたようにv、wの少なくとも一方がT_pP_uに属していれば、${\displaystyle \Omega _{p}(v,w)=0}$である事が知られている^[26]事から、この写像は${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$上の写像をwell-definedに誘導する。

曲率${\displaystyle \Omega ~:~\wedge ^{2}T_{p}P\approx \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$がM上の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-値2-形式Ω'を誘導する事を前に見た。このΩ'は曲率関数を使って以下のように書き表す事ができる。

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}\Omega ~:~&\bigwedge ^{2}T_{p}P&\approx &\bigwedge ^{2}{\mathfrak {g}}&\to &{\mathfrak {g}}\\&\pi _{*}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow &\circlearrowright &||\\\Omega '~:~&\bigwedge ^{2}T_{\pi (p)}M&\approx &\bigwedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}&{\overset {K_{p}}{\to }}&{\mathfrak {g}}\end{array}}}$

さらに以下の定義をする：

モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、この捩率はアフィン接続の捩率テンソルに一致する。詳細は後述。

本節の目標は、商写像

${\displaystyle \rho ~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

とカルタン接続の合成${\displaystyle \rho \circ \omega }$の幾何学的意味を説明する事である。

まず、${\displaystyle \rho \circ \omega }$は以下のように特徴づける事ができる：

上記の特徴付けから、${\displaystyle \rho \circ \omega }$の幾何学的意味は同型${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TM}$に関係しているので、この同型の幾何学的意味を見る。${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$にベクトル空間としての基底${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$をfixし、同型

${\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TM}$

による${\displaystyle [p,e_{i}]}$の像を${\displaystyle e_{i}^{p}}$とすると、${\displaystyle e^{p}:=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})}$は${\displaystyle T_{\pi (p)}M}$の基底をなす。

よって特に、${\displaystyle F:=\{e^{p}\mid p\in P\}}$とすると、FはM上のフレームバンドル（英語版）（＝各点のファイバーがTMの基底からなるバンドル）になる^[28]。

一般には対応

${\displaystyle p\in P\mapsto e^{p}\in F}$

は全単射ではないが、${\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$の定義から、カルタン幾何学が下記の意味で「一階」であれば、この写像は全単射になる：

以上の準備のもと、${\displaystyle \rho \circ \omega }$を幾何学的に意味付ける：

上記のような、${\displaystyle v\in T_{e}F}$に${\displaystyle \pi _{*}(v)=v^{i}e_{i}}$となる${\displaystyle {}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})}$を対応させる${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$-値1-形式をフレームバンドル上の標準形式（英: canonical form）という^[30]。上述の定理はカルタン幾何学が一階であれば${\displaystyle \rho \circ \omega }$は標準形式として意味づけられる事を保証する。

本節ではモデル幾何学${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}$が「簡約可能」という性質を満たす場合にが対するカルタン幾何学の性質を見る。具体的にはモデル幾何学がユークリッド幾何学やアフィン幾何学の場合には簡約可能になる。

まず簡約可能性を定義する：

なお、${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$の取り方は一意とは限らないので注意されたい。

Gが2つのリー群の半直積${\displaystyle G=H\ltimes B}$で書けている場合は、G、Hに対応するモデル幾何学${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}$は、Bのリー代数を${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$として選ぶ事で簡約可能である^[33]。

よって特にユークリッド幾何学の等長変換群${\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})}$は直交群${\displaystyle O(m)}$と平行移動のなす群の半直積で書けるので対応するモデル幾何学は簡約可能である。アフィン幾何学も同様である。

${\displaystyle (\pi ,P,\omega )}$を${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}$をモデル幾何学にする多様体M上のカルタン幾何学とする。モデル幾何学${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}$が、${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}}$と簡約可能なとき、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$の元は${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$の元と${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$の元の和で一意に表現できるので、カルタン接続${\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}$も

${\displaystyle \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}}$

のように「${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$部分」と「${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$部分」の和で書ける。この分解を用いると、カルタン接続と主接続の接続形式との関係性を以下のように記述できる：

したがって、簡約可能なモデル幾何学の場合にはカルタン接続から主接続の接続形式${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$が得られることになる。

一方、${\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}}$は

${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}{\overset {\rho }{\to }}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

により${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$を${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$と同一視すると、${\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}}$は${\displaystyle \rho \circ \omega }$と同一視でき、前述のように（カルタン幾何学が一階であれば）${\displaystyle \rho \circ \omega }$は標準形式であるとみなせる。

したがって分解${\displaystyle \omega =\omega _{\mathrm {h} }+\omega _{\mathrm {b} }}$はカルタン接続${\displaystyle \omega }$を接続形式${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$と標準形式${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$に分解するものであるが、実は逆に接続形式と標準形式からカルタン接続を復元できる：

前述した、カルタン接続から接続形式と標準形式とに分解する定理とは丁度「逆写像」の関係にあり、簡約可能で一階の場合はカルタン接続は接続形式と標準形式との組と1対1に対応する^[34]。

モデル幾何学が簡約可能である場合、上述したようにカルタン接続ωから定義される${\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}$はH-主バンドルPの接続形式になる。ベクトル空間V上のHの線形表現${\displaystyle \gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)}$があれば、ベクトルバンドルとしての接続（Koszul接続）の一般論から、接続形式${\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}$はM上のベクトルバンドル${\displaystyle E:=P\times _{H,\gamma }V}$にKoszul接続を定める^[35]。