ホフマン–シングルトングラフ
| ホフマン–シングルトングラフ | |
|---|---|
 | |
| 命名者 | Alan J. Hoffman Robert R. Singleton |
| 頂点 | 50 |
| 辺 | 175 |
| 半径 | 2 |
| 直径 | 2[1] |
| 内周 | 5[1] |
| 自己同型 | 252,000 (PSU(3,52):2)[2] |
| 彩色数 | 4 |
| 彩色指数 | 7[3] |
| 特性 | 強正則グラフ 対称グラフ ハミルトングラフ 整グラフ ケージ ムーアグラフ |
| 種数 | 29[4] |
ホフマン–シングルトングラフとは、50個の頂点と175個の辺からなる7-正則グラフである。これは(50,7,0,1)-強正則グラフであり一意である。[5]このグラフはアラン・ホフマンとロバート・シングルトンによって、ムーアグラフの分類の過程で構成された。またホフマン–シングルトングラフは知られているムーアグラフの中でもっとも頂点数が多いグラフである。[6] 次数7のムーアグラフであることから、内周は５であり、(7,5)-ケージとなる。
構成法
[編集]さまざまな構成法が知られている。
五角形と五芒星による構成
[編集]５つの五角形Phと５つの五芒星Qiをとる。五角形Phにおいて頂点jからj-1とj+1に辺をひく。また五芒星Qiにおいて頂点jからj-2とj+2に辺をひく。最後に五角形Phの頂点jから五芒星Qjの頂点hi+jに辺をひく。（すべて法５で考える。）
代数的性質
[編集]ホフマン–シングルトングラフの隣接行列の固有多項式は、。よってホフマン–シングルトングラフは整グラフ（隣接行列の任意の固有値が整数）となる。
部分グラフ
[編集](50,7,0,1)の強正則グラフであることのみから、ホフマン–シングルトングラフが1260個の5-サイクルを持つことを示すことができる。
加えて、ホフマン-シングルトンは525個のピーターセングラフを含む。
注釈・出典
[編集]- ^ a b Weisstein, Eric W. "Hoffman-Singleton Graph". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Hafner, P. R. "The Hoffman-Singleton Graph and Its Automorphisms." J. Algebraic Combin. 18, 7-12, 2003.
- ^ Royle, G. "Re: What is the Edge Chromatic Number of Hoffman-Singleton?" GRAPHNET@istserv.nodak.edu posting. Sept. 28, 2004. [1]
- ^ Conder, M.D.E.; Stokes, K.: "Minimum genus embeddings of the Hoffman-Singleton graph", preprint, August 2014.
- ^ Brouwer, Andries E., Hoffman-Singleton graph.
- ^ Hoffman, Alan J.; Singleton, Robert R. (1960), “Moore graphs with diameter 2 and 3”, IBM Journal of Research and Development 5 (4): 497–504, doi:10.1147/rd.45.0497, MR0140437.
参考文献
[編集]- Benson, C. T.; Losey, N. E. (1971), “On a graph of Hoffman and Singleton”, Journal of Combinatorial Theory. Series B 11 (1): 67–79, doi:10.1016/0095-8956(71)90015-3, ISSN 0095-8956, MR0281658
- Holton, D.A.; Sheehan, J. (1993), The Petersen graph, Cambridge University Press, pp. 186 and 190, ISBN 0-521-43594-3.