レヴィ・チヴィタ接続

数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > 接続 > ベクトルバンドルの接続 > アフィン接続 > レヴィ・チヴィタ接続
数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > リーマン幾何学 > レヴィ・チヴィタ接続

レヴィ-チヴィタ接続（レヴィ-チヴィタせつぞく、英: Levi-Civita connection）とは、リーマン多様体 $M$ 上に共変微分という概念を定める微分演算子で、 $M$ がユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{n}$ の部分多様体の場合は、 $\mathbb {R} ^{n}$ における（通常の意味の）微分を $M$ に射影したものが共変微分に一致する。

レヴィ-チヴィタ接続は擬リーマン多様体においても定義でき、一般相対性理論に応用を持つ。

レヴィ-チヴィタ「接続」という名称はより一般的なファイバーバンドルの接続概念の特殊な場合になっている事により、接続概念から定義される「平行移動」（後述）を用いる事で、 $M$ 上の相異なる2点を「接続」してこれら2点における接ベクトルを比較可能になる。

レヴィ-チヴィタ接続において定義される概念の多くは一般のファイバーバンドルの接続に対しても定義できる。

レヴィ-チヴィタ接続の名称はイタリア出身の数学者トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタによる。

モチベーション[編集]

$M$ を $\mathbb {R} ^{N}$ の部分多様体とし、 $c(t)$ を $M$ 上の曲線とし、さらに $v(t)$ を $c(t)$ 上定義された $M$ のベクトル場とし（すなわち各時刻 $t$ に対し、 $v(t)$ は $v(t)\in T_{c(t)}M$ を満たすとし）、

{\nabla  \over dt}v(t):=\mathrm {Pr} _{c(t)}\left({d \over dt}v_{c(t)}\right)

と定義する。ここで $Pr$ は $M$ の点 $c (t)$ における $\mathbb {R} ^{n}$ 内の接平面（と自然に同一視可能な $T c (t) M$ ）への射影である。また $X$ 、 $Y$ を $M$ 上のベクトル場とするとき、

\nabla _{X}Y|_{P}:={\nabla  \over dt}Y_{\exp(tX)(P)}

と定義する。ここで $\exp(tX)(P)$ は時刻 $0$ に点 $P\in M$ を通る $X$ の積分曲線である。実はこれらの量は $M$ の内在的な量である事、すなわち $\mathbb {R} ^{n}$ から $M$ に誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから計算できる事が知られている。具体的には以下の通りである：

定理 ― $M$ に局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ を取るとき、以下が成立する（アインシュタインの縮約で表記）：

{\nabla  \over dt}v(t)=\left({d \over dt}v^{i}(t)+{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial  \over \partial x^{i}}

...(1)

　　　where

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)

...(2)

ここで $v(t)=v^{i}(t){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ であり、 $(g^{i\ell })_{i\ell }$ は $(g_{\ell j})_{\ell j}$ の逆行列である。すなわち $\delta ^{i}{}_{j}$ をクロネッカーのデルタとするとき、 $g^{i\ell }g_{\ell j}=\delta ^{i}{}_{j}$ である。

証明

$\mathbb {R} ^{n}$ の元を成分で ${\vec {y}}=(y^{1},\ldots ,y^{n})$ と表し、局所座標が $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ で表せる $M$ の元の $\mathbb {R} ^{n}$ における成分表示を

{\vec {y}}(x^{1},\ldots ,x^{m})=(y^{1}(x^{1},\ldots ,x^{m}),\ldots ,y^{n}(x^{1},\ldots ,x^{m}))

と表すと、

{d \over dt}{\vec {v}}(t)

={d \over dt}\left(v^{k}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))\right)

={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))

である。 ${\tfrac {\partial {\vec {y}}}{\partial x^{k}}}(x(t))$ は $M$ の ${\vec {y}}(x(t))$ における接平面に属しているので、

\mathrm {Pr} _{c(0)}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)

={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\mathrm {Pr} _{t=0}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)

...(A)

が成立する。よって後は $\mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\tfrac {\partial ^{2}{\vec {y}}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(x(t))\right)$ の具体的な形を決定すれば良い。そのためには成分で

\mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)

=a_{jk}^{i}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}(x(t))

...(B)

と書いて係数の $a_{jk}^{i}(t)$ を決定すればよい。以下記号を簡単にするため「 $a_{jk}^{i}(t)$ 」を単に「 $a_{jk}^{i}$ 」と書き、偏微分から「 $x(t)$ 」を省略する。すると、

a_{jk}^{i}g_{i\ell }=a_{jk}^{i}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

=\left\langle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}\right),{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

であるので、

a_{jk}^{i}=g^{i\ell }\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

...(C)

である。一方ライプニッツ・ルールより

{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}={\partial  \over \partial x^{j}}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle +\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{\ell }}\right\rangle

であるので、添字をサイクリックに回すと、

{\begin{pmatrix}{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}\\{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\\{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle \\\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{\ell }\partial x^{j}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}\right\rangle \\\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{k}\partial x^{\ell }},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{j}}\right\rangle \end{pmatrix}}

である。これを解いて、

{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}=2\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\,\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

よって $\Gamma _{jk}^{i}$ の定義と(C)より、

a_{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}

が結論付けられる。よって(A)、(B)、(C)から

\mathrm {Pr} _{c(0)}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)

={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\Gamma _{jk}^{i}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}

=\left({dv^{i}(t) \over dt}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\right){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}

同様に $X=X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ 、 $Y=Y^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ とすると、以下が成立する：

定理 ― 　

\nabla _{X}Y=\left(X^{j}{\partial Y^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial  \over \partial x^{i}}

...(3)

定義と特徴づけ[編集]

前節で述べたように ${\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)$ や $\nabla X Y$ は $M$ に内在的な量なので、一般のリーマン多様体に対しても、(1)、(2)、(3)式をもってこれらの量を定義できる：

定義 (レヴィ-チヴィタ接続) ― $(M,g)$ をリーマン多様体とする。 $M$ のベクトル場 $X$ 、 $Y$ に対し、(2)、(3)式のように定義された $\nabla _{X}Y$ を対応させる演算子 $\nabla$ を $(M,g)$ のレヴィ-チヴィタ接続（英: Levi-Civita connection）と呼び^[1]^[2]^[3]^{[注 1]}といい、 $\nabla _{X}Y$ を $\nabla X Y$ を $Y$ の $X$ 方向の共変微分（英: covariant derivative）という。

定義 ― $c(t)$ を $M$ 上の曲線、 $v(t)$ を $c(t)$ 上定義された $M$ のベクトル場とするとき、(1)式のように定義された ${\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)$ を曲線 $c(t)$ に沿った $Y$ の共変微分（英: covariant derivative）という。

レヴィ-チヴィタ接続の定義は(1)、(2)、(3)式に登場する局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ に依存しているが、局所座標によらずwell-definedである事を証明できる。

レヴィ・チヴィタ接続の事をリーマン接続（英: Riemannian connection）もしくはリーマン・レヴィ-チヴィタ接続（英: Riemann Levi-Civita connection）とも呼ぶ^[1]^[2]^[3]。

レヴィ-チヴィタ接続を局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ で表したとき、(2)式で定義される $\Gamma ^{i}{}_{jk}$ を局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ に関するクリストッフェル記号という。

リーマン幾何学の基本定理[編集]

レヴィ-チヴィタ接続は以下の性質により特徴づけられる：

定理 (リーマン幾何学の基本定理) ― レヴィ-チヴィタ接続は以下の5つの性質を満たす。また $M$ 上のベクトル場の組に $M$ 上のベクトル場を対応させる汎関数で以下の5つの性質をすべて満たすものはレヴィ-チヴィタ接続に限られる^[4]^[5]：

$\nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z$ (関数に関する左線形性)
$\nabla _{X}(aY+bZ)=a\nabla _{X}Y+b\nabla _{X}Z$ (実数に関する右線形性)　
$\nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y$ 　（ライプニッツ則）
$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ (捻れなし）
$Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)$ （計量との両立）

ここで $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ は $M$ 上の任意の可微分なベクトル場であり、 $f$ 、 $g$ は $M$ 上定義された任意の実数値 $C \infty$ 級関数であり、 $a$ 、 $b$ は任意の実数であり、 $fY$ は点 $u\in M$ において $f(u)Y_{u}$ となるベクトル場であり、 $X(f)$ は $f$ の $X$ 方向微分であり、 $[X,Y]$ はリー括弧（英語版）である。すなわち、

[X,Y]:=XY-YX=X^{i}{\partial Y^{j} \over \partial x^{i}}{\partial  \over \partial x^{j}}-Y^{i}{\partial X^{j} \over \partial x^{i}}{\partial  \over \partial x^{j}}

条件1のように、任意の $C \infty$ 級関数に対して線形性が成り立つことを $C^{\infty }(M)$ -線形であるという^[6]。一般に $C^{\infty }(M)$ -線形な汎関数は、一点の値のみでその値が決まる事が知られている^[7]。例えばレヴィ-チヴィタ接続の場合、点 $P\in M$ における $\nabla _{X}Y$ の値は $X P$ のみに依存し $P$ 以外の点 $Q$ における $X$ の値 $X Q$ には依存しない。

なお、5番目の条件は後述するテンソル積の共変微分を用いると、

\nabla _{Z}g=0

とも書ける。

Koszulの公式[編集]

上述した特徴づけを使うと、レヴィ-チヴィタ接続の成分によらない具体的な表記を得る事ができる。

定理 (Koszulの公式) ― $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ をリーマン多様体 $M$ 上の任意の可微分なベクトル場とするとき、以下が成立する^[8]：

Koszulの公式（英: Koszul formula^[9]）：

2g(\nabla _{X}Y,Z)

=Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)

-g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y])

略記法[編集]

詳細は「リッチ計算法（英語版）」を参照

文章の前後関係から局所座標が分かるときは ${\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ の事を

\partial _{x^{i}}

、

\partial _{i}

等と略記し、 $\nabla _{\partial _{j}}Y$ の事を

\nabla _{j}Y

、

と略記する。さらに $Y^{i}{}_{;j}$ を $\nabla _{j}Y$ の成分表示

$\nabla _{j}Y=Y^{i}{}_{;j}\partial _{i}$

により定義する^[10]。一方、関数 $f$ の偏微分 $\partial _{j}f$ は

f_{,j}

と「,」をつけて略記する。したがって $Y=Y^{i}\partial _{i}$ とすれば、

Y^{i}{}_{;j}=Y^{i}{}_{,j}+Y^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}

が成立する。

なお、

Y^{i}{}_{;j,k}

は $\nabla _{j}(\nabla _{k}Y)$ の $i$ 番目の係数ではなく、後述する二階共変微分 $\nabla _{\partial _{j},\partial _{k}}Y$ の $i$ 番目の係数を意味するので注意されたい。

平行移動[編集]

球面上の平行移動。大円で囲まれた三角形上でベクトルを一周平行移動すると、もとに戻ってきたときに元のベクトルには戻らない。

詳細は「接続 (ベクトル束)#平行移動」を参照

定義[編集]

リーマン多様体 $(M,g)$ 上の曲線 $c(t)$ 上定義された $M$ 上のベクトル場 $v(t)$ が

{\nabla  \over dt}v(t)=0

を恒等的に満たすとき、 $v(t)$ は $c(t)$ 上平行であるという^[11]。また、 $c(t_{0})$ 上の接ベクトル $w_{0}\in T_{c(t_{0})}M$ と $c(t_{1})$ 上の接ベクトル $w_{1}\in T_{c(t_{1})}M$ に対し、 $v(t_{0})=w_{0}$ 、 $v(t_{1})=w_{1}$ を満たす $c(t)$ 上の平行なベクトル場 $v(t)$ が存在するとき、 $w_{1}$ は $w_{0}$ を $c(t)$ に沿って平行移動（英: parallel transportation along $c(t)$ ）した接ベクトルであるという^[11]。

ユークリッド空間の平行移動と異なる点として、どの経路 $c(t)$ に沿って平行移動したかによって結果が異なる事があげられる。この現象をホロノミー（英語版）（英: holonomy）という^[12]。

右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。

性質[編集]

$c(t)$ に沿って $w_{0}\in T_{c(0)}M$ を $c(t)$ まで平行移動したベクトルを $\varphi _{c,t}(v)\in T_{c(t)}M$ とすると $\varphi _{c,t}~:~T_{c(0)}M\to T_{c(t)}M$ は線形変換であり、しかも計量を保つ。すなわち以下が成立する：

定理 (平行移動は計量を保つ) ― $g(\varphi _{c,t}(v),\varphi _{c,t}(w))=g(v,w)$

実は平行移動の概念によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事ができる：

定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 多様体 $M$ 上の曲線 $c(t)$ と $c(t)$ 上のベクトル場 $v(t)$ に対し、 $c(t)$ に沿った平行移動を $\varphi _{c,t}(v)$ とすると、以下が成立する^[13]：

{\nabla v \over dt}(0)

=\left.{d \over dt}\varphi _{c,t}{}^{-1}(v(t))\right|_{t=0}

ホロノミー群[編集]

とくに点 $u\in M$ から $u$ 自身までの $M$ 上の閉曲線 $c(t)$ に沿って一周する場合、接ベクトル $v\in T_{u}M$ を平行移動した元を $\varphi _{c}(v)$ と書くことにすると、

\mathrm {Hol} (\nabla ,P):=\{\phi _{c}\mid c

は

P

から

P

自身までの区分的になめらかな閉曲線

\}

は（合成関数で積を定義するとき） $T_{u}M$ 上の直交群の（閉とは限らない）部分リー群になる^[14]。 $\mathrm {Hol} (\nabla ,P)$ をレヴィ-チヴィタ接続 $\nabla$ に関するホロノミー群（英語版）（英: holonomy group）という。 $M$ が弧状連結であれば $\mathrm {Hol} (\nabla ,P)$ は点 $P$ によらず同型である。

幾何学的意味づけ[編集]

詳細は「滑りとねじれのない転がし」を参照

$M$ をユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{N}$ の $n$ 次元部分多様体とし^{[注 2]}、 $M$ 上に曲線 $c(t)$ を取り（図の青の線）、 $c(t)$ に沿って $M$ を $n$ 次元平面 $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{N}$ 上「滑ったり」「ねじれたり」することなく転がした^{[注 3]}ときにできる曲線の軌跡を ${\tilde {c}}(t)$ とする（図の紫の線）。

$M$ を転がすと、時刻 $t$ に $c(t)$ が $\mathbb {R} ^{n}$ に接した瞬間に $T_{c(t)}M$ が $\mathbb {R} ^{n}$ に重なるので、自然に写像

\varphi _{t}~:~T_{c(t)}M\to \mathbb {R} ^{n}

が定義できる。この写像を使うと、 $M$ のレヴィ・チヴィタ接続 $\nabla$ の幾何学的意味を述べることができる：

定理 ― $v(t)\in T_{c(t)}M$ を $c(t)$ に沿った $M$ 上のベクトル場とすると、以下が成立する^[15]：

\varphi _{t}\left({\nabla  \over dt}v(t)\right)={d \over dt}\varphi _{t}(v(t))

すなわち、曲線 $c(t)$ に沿った $v(t)$ の共変微分を $\mathbb {R} ^{n}$ に移したものは、 $v(t)$ を $\mathbb {R} ^{n}$ に移したものを通常の意味で微分したものに一致する。この事実から特に、レヴィ-チヴィタ接続による平行移動と $\mathbb {R} ^{n}$ における通常の意味での平行移動の関係を示すことができる：

系 ― $c(a)$ における接ベクトル $v$ を $M$ 上曲線 $c(t)$ に沿って（レヴィ・チヴィタ接続の意味で）平行移動したものを $v'$ とするとき、 ${\tilde {c}}(a)$ におけるベクトル $\varphi _{a}(v)$ を $\mathbb {R} ^{n}$ 上 ${\tilde {c}}(b)$ まで通常の意味で平行移動したものは $\varphi _{b}(v')$ に等しい^[15]。

接続形式[編集]

$(e_{1},\ldots ,e_{m})$ を接バンドル $TM$ の局所的な基底とし、 $X$ 、 $Y$ を $M$ 上のベクトル場とし、 $Y=Y^{j}e_{j}$ とすると、レヴィ-チヴィタ接続の定義から

\nabla _{X}Y=X(Y^{j})e_{j}+Y^{j}\nabla _{X}e_{j}

である。この式は、共変微分 $\nabla _{X}Y=\nabla _{X}(Y^{j}e_{j})$ にライプニッツ則を適用して成分部分の微分 $X(Y^{j})e_{j}$ と基底部分の微分 $Y^{j}\nabla _{X}e_{j}$ の和として表現したものと解釈できる。

そこで以下のような定義をする：

定義 (接続形式) ― 行列 $\omega (X)$ を

(\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega (X)

により定義し、 $X$ に $\omega (X)$ を対応させる行列値の1-形式 $\omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}$ を局所的な基底 $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ に関するレヴィ・チヴィタ接続 $\nabla$ の接続形式（英: connection form）という^[16]^{[注 4]}

定義から明らかに

\omega ^{i}{}_{j}(e_{k})=\Gamma ^{i}{}_{kj}

が成立する。

接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式 $ω$ と強く関係しており、底空間 $M$ の曲線 $c(t)$ に沿って定義された局所的な基底 $(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))$ を $t$ で微分したものが接続形式 $\omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))$ に一致する。

よって特に（レヴィ・チヴィタ接続などの） $\nabla$ が $E$ の計量と両立する接続の場合、 $\nabla$ による平行移動は回転変換、すなわち $SO(m)$ の元なので、その微分である接続形式 $ω$ は $SO(m)$ のリー代数 ${\mathfrak {so}}(m)$ の元、すなわち歪対称行列である^{[注 5]}：

定理 ― $\nabla$ が $E$ 上の計量と両立するとき、 $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ を $E$ の局所的な正規直交基底とすると、 $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ に関する接続形式 $ω$ は ${\mathfrak {so}}(m)$ の元である。すなわち $ω$ は歪対称行列である。

このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例では $SO(m)$ ）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。

上では回転群 $\mathrm {SO} (m)$ の場合を説明したが、物理学で重要な他の群、例えばシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。

こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。リー群の主バンドルの接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。詳細は接続 (ファイバー束)の項目を参照されたい。

測地線[編集]

「接続 (ベクトル束)#測地線」も参照

定義[編集]

リーマン多様体 $(M,g)$ 上の曲線 $c(t)$ で測地線方程式

{\nabla  \over dt}{d \over dt}c(t)=0

を恒等的に満たすものを測地線という^[18]。2階微分は物理的には加速度であるので、測地線とは加速度が恒等的に $0$ である曲線、すなわちユークリッド空間における直線を一般化した概念であるとみなせる^{[注 6]}。

リーマン多様体 $M$ 上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ

\left\|{\nabla  \over ds}{dc \over ds}\right\|

を $M$ における $c(s)$ の測地線曲率^{[訳語疑問点]}（英: geodesic curvature^[19]）、あるいは単に曲率（英: curvature）という。よって測地線は、曲率が $0$ の曲線と言い換える事ができる。

存在性と一意性[編集]

常微分方程式の局所的な解の存在一意性から、点 $P\in M$ における接ベクトル $v\in T_{P}M$ に対し、ある $\varepsilon >0$ が存在し、

c(0)=P

、

{\tfrac {dc}{dt}}(0)=v

を満たす測地線 $c(t)$ が $(-\varepsilon ,\varepsilon )$ 上で一意に存在する。この測地線を

\exp(tv)

と書く。

しかし測地線は任意の長さに延長できるとは限らない。たとえば $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ （に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間）において、測地線 $c(t)=(1-t,0)$ は $t<1$ までしか延長できない。任意の測地線がいくらでも延長できるとき、リーマン多様体は測地線完備であるという^[20]。

測地線が $\mathbb {R}$ 全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。

定理 (Hopf-Rinowの定理（英語版）) ― $(M,g)$ を連結なリーマン多様体とし、 $\nabla$ を $M$ 上のレヴィ-チヴィタ接続とする。このとき、以下の条件は互いに同値である^[21]^[22]：

$(M,g)$ は $g$ が定める距離に関し、距離空間として完備である。
$(M,\nabla )$ は測地線完備である。
全ての点 $P\in M$ に対し、 $T P M$ の全ての元 $v$ に対し $\mathrm {exp} _{P}(v)$ を定義できる。
ある点 $P\in M$ に対し、 $T P M$ の全ての元 $v$ に対し $\mathrm {exp} _{P}(v)$ を定義できる。
$M$ 上の任意の $2$ 点 $P$ 、 $Q$ に対し、 $P$ と $Q$ の両方を通る（ $\nabla$ に関する）測地線が存在する。
$g$ が定める距離に関し、 $M$ の有界閉集合はコンパクトである。

特徴づけ[編集]

測地線の概念を全く違った角度から特徴づける事ができる。

弧長の停留曲線[編集]

このことを示すため、いくつか記号を導入する。 $(M,g)$ をリーマン多様体とし、 $\nabla$ を $(M,g)$ 上のレヴィ-チヴィタ接続とする。 $U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$ を $M$ の局所座標とする。以下、 $U$ 上でのみ議論する。議論を簡単にするため、 $U$ を $\mathbb {R} ^{m}$ の部分集合と同一視する。

$U$ 上の滑らかな曲線 $P(t)$ を考え、この曲線の座標表示を $x~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}$ 、 $P(t)=x(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))$ とする。さらに $\eta ~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}$ を滑らかな写像で $\eta (a)=\eta (b)=0$ となるものとし、 $\varepsilon >0$ に対して曲線

x_{\varepsilon ,\eta }(t):=x(t)+\varepsilon \eta (t)

を考える。ここで和や定数倍は $x(t)$ 、 $\eta (t)$ を $\mathbb {R} ^{m}$ の元と見たときの和や定数倍である。

そして、

L(x,v):={\sqrt {g_{x}(v,v)}}

と定義し弧長積分

S_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}L\left(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t)\right)dt

を考える。

定義 ― $x~:~[a,b]\to \mathbb {R} ^{m}$ を滑らかな曲線とする。 $\eta (a)=\eta (b)=0$ を満たす任意の滑らかな写像 $\eta ~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}$ に対し、

{dS_{x,\eta } \over d\varepsilon }(0)=0

が成立するとき、曲線 $x(t)$ は弧長積分の停留曲線^[23]もしくは（ $x(t)$ を曲線全体の空間上の「点」とみなし）停留点（英: critical point^[24]）という。

「停留曲線」は直観的には滑らかな曲線全体の空間での「微分」が $0$ になるという事である。変分法の一般論から次が成立する：

定理 ― 曲線 $x(t)$ が弧長積分の停留曲線である必要十分条件は $x(t)$ が下記の方程式（弧長積分に関するオイラー・ラグランジュ方程式）を満たす事である^[25]^[24]：

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)\right)={\frac {\partial L}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)

for

j=1,\ldots ,m

曲線 $x(t)$ の弧長

s=\int _{a}^{t}{\sqrt {g_{x}\left({dx \over dt},{dx \over dt}\right)}}dt

によって $x(t)$ をパラメトライズする事を弧長パラメーター表示という。実は次が成立する：

定理 ― 滑らかな曲線 $P(t)$ が弧長積分に関するオイラー・ラグランジュ方程式を満たす必要十分条件は、 $P(t)$ を弧長パラメーター $s$ に変換した $P(s)$ が測地線方程式

{\nabla  \over ds}{dP \over ds}=0

を満たす事である^[26]。

証明^[26]

{\dot {x}}={\tfrac {dx}{dt}}

、

g(\cdot ,\cdot )=g_{x}(\cdot ,\cdot )

、と略記すると、

ds={\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}dt

であるので、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺は

{\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={\frac {\partial }{\partial v_{\ell }}}{\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}={1 \over {\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}}g_{i\ell }{\dot {x}}^{i}=g_{i\ell }{dx^{i} \over ds}

より、

{d \over dt}{\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={ds \over dt}{d \over ds}\left(g_{i\ell }{dx^{i} \over ds}\right)={ds \over dt}\left({\partial g_{i\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{i} \over ds}{dx^{j} \over ds}+g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}\right)

である。一方右辺は

{\frac {\partial L}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={1 \over 2{\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}={1 \over 2}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}{ds \over dt}

である。よって両辺を見比べることで、

{\partial g_{i\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{i} \over ds}{dx^{j} \over ds}+g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}={1 \over 2}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}

左辺第一項の添字の $i$ を $k$ に代えて整理する事で、

g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{1 \over 2}\left({2\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0

よって、

{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{g^{i\ell } \over 2}\left({2\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0

ここで $\ell$ と $k$ の添字の付け替えにより

{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}={\partial g_{j\ell } \over \partial x^{k}}{dx^{k} \over ds}{dx^{j} \over ds}

なので、

{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{g^{i\ell } \over 2}\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{j\ell } \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0

となる。クリストッフェル記号の定義から定理は証明された。

エネルギーの停留曲線[編集]

上では測地線が

L(x,v):={\sqrt {g_{x}(v,v)}}

S_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}L(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t))dt

に対して停留曲線になる事を示したが、エネルギー^{[注 7]}

{\bar {L}}(x,v):={g_{x}(v,v) \over 2}

から得られる

{\bar {S}}_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}{\bar {L}}(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t))dt

に対しても停留曲線は測地線になっている事が知られている。

しかもこの事実は $g$ が正定値や非退化でなくても成立する：

定理 ― $g$ を多様体 $M$ 上定義された（正定値でも非退化でもないかもしれない）二次形式の可微分な場とするとき、 ${\bar {L}}(x,v):=g_{x}(v,v)$ の停留曲線は ${\bar {L}}$ に関するオイラー・ラグランジュ方程式

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)\right)={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)

for

j=1,\ldots ,m

を満たす^[27]。

定理 ― 上の定理と同じ条件下、 $g$ に対するレヴィ-チヴィタ接続を $\nabla$ とすると、 ${\bar {L}}$ に関するオイラー・ラグランジュ方程式は変数 $t$ に関する測地線方程式

{\nabla  \over dt}{dP \over dt}=0

に一致する^[27]。

この事実は擬リーマン多様体を基礎に置く一般相対性理論では、運動エネルギーを最小にする曲線、すなわち自由落下曲線が測地線になる事を含意する。

正規座標[編集]

測地線の局所的存在性から、点 $P\in M$ における接ベクトル空間 $T P M$ の原点の近傍 $0_{P}\in U\subset T_{P}M$ の任意の元 $v\in U$ に対し、測地線 $\exp _{P}(tv)$ が存在する。必要なら $U$ を小さく取り直す事で写像

v\in U\mapsto \exp _{P}(v)\in M

が中への同型になるようにする事ができる。ベクトル空間 $T P M$ の開集合から $M$ への中への同型なので、 $v\in U\mapsto \exp _{P}(v)\in M$ を $M$ の点 $P$ の周りの局所座標と見なす事ができる。この局所座標を $M$ の点 $u$ における正規座標（英語版）（英: normal coordinate）という^[28]。

$\mathbb {R} ^{n}$ において、 $Y(x)=(Y^{1}(x),\ldots ,Y^{n}(x))$ の $X=(X^{1},\ldots ,X^{n})$ 方向の方向微分は

\left(X^{i}{\partial Y^{1} \over \partial x^{i}},\ldots ,X^{i}{\partial Y^{n} \over \partial x^{i}}\right)

である。正規座標において、共変微分は方向微分と一致する：

定理 (正規座標における共変微分と方向微分の関係) ― : $\exp _{P}~:~U\subset T_{P}M\to M$ を $M$ の $P$ における正規座標とし、 $X=X^{i}\partial _{x^{i}}$ 、 $Y=Y^{j}\partial _{x^{j}}$ を $M$ 上の2つのベクトル場とする。このとき、以下が成立する^[29]：

\exp _{P}{}^{-1}(\nabla _{X}Y|_{P})=X^{i}(P){\partial Y^{j} \over \partial x^{i}}(P)\left.{\partial  \over \partial x^{j}}\right|_{P}

なお、後述するテンソルの共変微分に関しても、正規座標においては方向微分に一致する^[29]。

曲率[編集]

動機[編集]

レヴィ-チヴィタ接続を成分で書いた

\nabla _{X}Z=\left(X^{j}{\partial Z^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Z^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial  \over \partial x^{i}}

より、 $M=\mathbb {R} ^{m}$ であれば、すなわちMが「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号は全て0になる。よって

この「平たい」空間とのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」空間とのズレを測る。

ズレを測るため、クリストッフェル記号 $\Gamma _{jk}^{i}$ が全て $0$ であれば、

\nabla _{X}Z=X(Z^{i}){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}

となる事に着目する。この事実から「平たい」空間では、

\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z=XY(Z^{i}){\partial  \over \partial x^{i}}-YX(Z^{i}){\partial  \over \partial x^{i}}=[X,Y](Z^{i}){\partial  \over \partial x^{i}}=\nabla _{[X,Y]}Z

が常に成立する事を示せる。そこで

R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z

と定義すると、 $R(X,Y)Z$ は $M$ が「平たい」ときには恒等的にゼロになり、この意味において $R(X,Y)Z$ は $M$ の「曲がり具合」を表している考えられる。

定義と性質[

[1]

[2]

[3]

[注 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[注 2]

[注 3]

[15]

[16]

[注 4]

[注 5]

[18]

[注 6]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[注 7]

[27]

[28]

[29]

レヴィ・チヴィタ接続

モチベーション[編集]

定義と特徴づけ[編集]

リーマン幾何学の基本定理[編集]

Koszulの公式[編集]

略記法[編集]

平行移動[編集]

定義[編集]

性質[編集]

ホロノミー群[編集]

幾何学的意味づけ[編集]

接続形式[編集]

測地線[編集]

定義[編集]

存在性と一意性[編集]

特徴づけ[編集]

弧長の停留曲線[編集]

エネルギーの停留曲線[編集]

正規座標[編集]

曲率[編集]

動機[編集]

定義と性質[

€4.95