特性類

特性類 (とくせいるい、英: Characteristic class) は、位相群を構造群とするファイバーバンドルの不変量であり、（十分性質がよい）位相空間Xを底空間とするファイバーバンドル

${\displaystyle \pi ~:~E\to X}$

に対し、Xのコホモロジー群の元を対応させる対応関係

${\displaystyle c~:~\xi =(E,X,\pi )\mapsto c(\xi )\in H^{q}(X;A)}$

で、「自然な」ものである。

原理的には任意のファイバーバンドルに対して特性類を定義できるが、研究が進んでいるのは主にベクトルバンドルに対する特性類である。ベクトルバンドルの特性類は以下の数学の分野に応用がある：

• 障害理論（英語版）
• K理論
• チャーン・ヴェイユ理論
• コボルディズム理論

またXが可微分多様体であれば、Xの接バンドルTXの特性類をX自身の不変量とみなす事ができる。接バンドルTXはXの可微分構造に依存しているので、ミルナーはTXの特性類を利用する事により、7次元球面と位相同型だが微分位相同型ではない可微分多様体（英語版）の存在を示した。

1935年の多様体上のベクトル場についてのエドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) の仕事より、特性類の考え方が発生した。

以下、Fをファイバーに持つファイバーバンドルの事をF-バンドルと呼ぶこととし、全空間E、底空間Xおよび射影${\displaystyle \pi ~:~E\to X}$からなるF-バンドルを${\displaystyle (E,X,\pi )}$と表記する。特性類の概念を厳密に定義するには圏論の概念を使う必要があるので、まずは若干厳密性を犠牲にした定義を以下に述べる：

上の定義における記号の意味を説明すると、${\displaystyle f^{*}(c(\xi ))=c(f^{*}(\xi ))}$における左辺の${\displaystyle f^{*}}$は、fがコホモロジーに誘導する写像

${\displaystyle f^{*}~:~c(\xi )\in H^{q}(Y,A)\mapsto f^{*}(c(\xi ))\in H^{q}(X,A)}$

の事であり、右辺の${\displaystyle f^{*}}$はX上のF-バンドル${\displaystyle \xi =(E,X,\pi )}$のfによる引き戻しによって定義されるY上のF-バンドルの事である。

上の定義に関して２つの注意点を述べる。第一に、上の定義におけるバンドル写像fは構造群GのFへの作用と両立するもののみを考えている。したがって例えばn次元実ベクトルバンドルを${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$を構造群として持つ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-バンドルとみなしたとき、各点${\displaystyle x\in X}$のファイバー${\displaystyle F_{x}}$上にバンドル写像fを制限した${\displaystyle f|_{x}~:~F_{x}\to F_{y}}$は線型同型写像でなければならず、行列式が0になってはならない。逆に言えば、いずれかの点${\displaystyle x\in X}$で行列式が0になるfに対しては${\displaystyle f^{*}(c(\xi ))=c(f^{*}(\xi ))}$が成立する必要はないし、次元が異なるベクトルバンドル間の写像に関してもこの性質が成立する必要はない。

第二に、本項では多くの教科書と同様、ファイバーバンドルの底空間BがCW複体である場合に限定して特性類を定義したが、より一般の空間、例えばパラコンパクトな位相空間に対しても特性類を定義できる^[2]。ただしこの場合本項で述べる性質のいくつかは成立しない^[2]。なお幾何学における多くの用途ではCW複体を対象にすれば十分である。実際、任意の可微分多様体は単体的複体、したがってCW複体と位相同型になる事が知られており^[3]、（可微分とは限らない）位相多様体もコンパクトな場合はCW複体とホモトピー同型になる事が知られている^[3]。さらにいえば任意の位相空間はCW複体と弱ホモトピー同型（英語版）である^[4]。

また本項では底空間Bに対してはCW複体である事を要求したものの、構造群G、ファイバーF、全空間Eは（CW複体とは限らない）任意の位相群、位相空間でよい。

構造群を持つファイバーバンドルの性質として以下が知られている：

すなわち特性類を考える上では、底空間の間の写像はホモトピークラスのみを考慮すればよい。

以上では特性類の定義に「対応関係」という未定義の言葉を使ったが、圏論の概念を使えばこうした未定義の語に頼らずに特性類の概念を定義できる：

なお、上述の特性類の定義において圏CWの射は連続写像としたが、下記の定理より、これを胞体写像に変えても定義は同値になる：

特性類に登場するコホモロジーとして、特異コホモロジーより簡便な（だが特異コホモロジーと同値である）胞体コホモロジーを用いる場合は議論に胞体写像を用いる必要があるのでこの定理は有用である。

以下の事実は特性類を具体的に定義する上で鍵となる重要な性質である：

この定理と特例類の定義からファイバーバンドルの特性類と主バンドルの特性類が1対1対応するという重要な事実が明らかに従う：

この事実からファイバーバンドルに対して特性類を定義するには主バンドルに対して特性類が定義できる事が必要十分である事がわかる。そこで以下、おもに主バンドルにフォーカスして特性類の議論をすすめる事とする。

なお上の定理ではGがFに効果的に作用している事を仮定しているが、多くの場合この仮定は必須ではない。実際、Fが十分性質の良い空間、たとえはCW複体であれば、GのFへの作用が連続である必要十分条件は、GのFへ作用のから定まる写像${\displaystyle \phi ~:~G\to \mathrm {Homeo} (F)}$が（${\displaystyle \mathrm {Homeo} (F)}$にコンパクト開位相を入れたとき）連続になる事である^[6]。よってGの作用が忠実ではない場合であっても、写像${\displaystyle \phi }$のカーネルで割った位相群${\displaystyle G/\mathrm {ker} \phi }$はFへ忠実かつ連続に作用するので、F-バンドルの特性類を定義するには主${\displaystyle G/\mathrm {ker} \phi }$-バンドルの特性類を定義すれば良い。

本節では位相群の分類空間のいう概念を導入し、分類空間の概念を用いて主バンドルの特性類の概念を全く別の角度から特徴づける。この分類空間を用いた特性類の定義は、後の節で特性類の具体例を構築する上で非常に有益である。

分類空間の概念を定義するため、まず以下の概念を定義する。

弱可縮の概念を用いて、分類空間の概念は以下のように定義される：

「分類空間」という名称の由来は次節に回すが、分類空間は必ず存在し、本質的に一意である：

上述したように、分類空間はホモトピー同型を除いて一意ではあるものの、同一の位相群に対し位相同型ではない複数の分類空間が存在しうる。このため位相群に対する個々の分類空間の事を分類空間のモデル（英: model）という^[8]。

分類空間はその名称が示す通り、与えられた底空間上のG-バンドルは、底空間から普遍G-バンドル${\displaystyle (PG,BG,\pi _{G})}$への写像のホモトピークラスにより完全に分類される：

なお、上の定理において写像${\displaystyle [f]\in [X,B]\mapsto f^{*}(P)\in {\mathcal {P}}_{G,F}(X)}$がwell-definedな事は、ホモトープな２つの写像が引き戻したバンドルは互いに同型な事だというすでに見た事実から従う。

上記の定理から、X上の任意の主G-バンドルξに対し、写像${\displaystyle f~:~X\to B}$がホモトピー同値を除いて一意に定まる。このfの事をξの分類写像（英: classifying map）という^[9]。

構造群Gを持つファイバーバンドルと主G-バンドルは1対1対応するので、上記の定理から一般のファイバーバンドルに対する分類定理が系として従う：

分類定理の場合と同様、X上のF-バンドルξに対応する写像${\displaystyle f~:~X\to B}$をξの分類写像（英: classifying map）という^[9]。

Gが離散群である場合は、定義より明らかに次が成立する：

この意味において、分類空間とは離散群におけるアイレンベルグ・マックレーン空間の概念を位相群に拡張したものである。

2つの位相群G、Hの間の連続な準同型写像${\displaystyle \varphi ~:~G\to H}$が与えられたとき、φから分類空間の間の写像${\displaystyle B\varphi ~:~BG\to BH}$を定義できる。

この事を見るために主バンドルの一般論を簡単に復習する。${\displaystyle \pi ~:~P\to X}$を主G-バンドルとし、${\displaystyle \varphi ~:~G\to H}$を連続準同型写像とするとき、

${\displaystyle P\times _{\varphi }H}$

を${\displaystyle PG\times H}$を同値関係

${\displaystyle (ag,h)\sim (a,\varphi (g)h)~{\text{ for some}}~g\in G}$

で割った空間とする事で、バランス積（balanced product^[12]）と呼ばれるX上の主H-バンドル

${\displaystyle [(a,h)]\in P\times _{\varphi }H\mapsto \pi (a)\in X}$

を構成できる。そこで${\displaystyle B\varphi ~:~BG\to BH}$を次のように定義する：

実はこの対応関係は関手になっている：

本節では、後で特性類を計算するとき必要となる分類空間の性質を述べる。

分類空間の関手Bは直積に関して以下のように振る舞う。

なお圏論的に言えば、「${\displaystyle X\times _{k}Y}$」はコンパクト生成位相空間の圏における圏論的な直積になっている^[14]。

分類空間の概念を用いる事により、主バンドルに対する特性類の概念を以下のように特徴づける事ができる：

上述の定理の1対1関係は具体的に以下のようにかける。すでに述べたように構造群Gの忠実な作用を持つ任意のF-バンドルの特性類は主G-バンドルの特性類と主G-バンドルの1対1対応するのでこの場合に話を限定する。 まず主G-バンドルの任意の特性類cに対し、

${\displaystyle c(PG)\in H^{*}(BG;A)}$

が対応する。逆に${\displaystyle c_{G}\in H^{*}(BG;A)}$を任意に選ぶと、主G-バンドル${\displaystyle \xi =(P,X,\pi )}$に対し、分類定理により分類写像${\displaystyle f_{\xi }~:~X\to BG}$がホモトピーを除いて一意に定まるので、Xのcに対する特性類を

${\displaystyle c(\xi ):=f_{\xi }{}^{*}(c_{G})\in H^{*}(X;A)}$

により定義できる。

上の定理から、${\displaystyle H^{*}(BG;A)}$の元を普遍特性類(英: universal characteristic class)という事がある。上の定理は普遍特性類と特性類が1対1対応する事を意味している。

定理の証明は以下の通りである：

特性類の概念は原理的には任意の位相群の主バンドルに対して定義できるが、研究が進んでいるのはベクトルバンドル（の主バンドル）に対する特性類である。

そこでベクトルバンドルの特性類について記述するための準備として、本節ではベクトルバンドルの構造群の分類空間を具体的に記述する。

すなわち本節では${\displaystyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R} }$に対し、一般線型群${\displaystyle GL_{n}(K)}$の分類空間を記述する。さらに${\displaystyle \mathbb {R} }$の場合にはベクトルバンドルに向き付けが定義可能なので、向き付け可能な${\displaystyle \mathbb {R} }$上ベクトルバンドルの構造群である${\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )}$の分類空間についても記述する。ここで${\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )}$は行列式が正の${\displaystyle \mathbb {R} }$上可逆行列のなす群である。

本節ではさらに、ユニタリ群${\displaystyle U_{n}}$、直交群${\displaystyle O_{n}}$、回転群${\displaystyle SO_{n}}$の分類空間についても記述する。後述するように${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$、${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$、${\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )}$の分類空間は、実はそれぞれ${\displaystyle U_{n}}$、${\displaystyle O_{n}}$、${\displaystyle SO_{n}}$の分類空間と等しい。

GL_n(K)の分類空間を記述する為、本節ではスティーフェル多様体（英語版）とグラスマン多様体（英語版）を定義する。

後述するようにこれらはそれぞれ普遍GL_n(K)-バンドルの全空間、分類空間になる。

Wが次元mの有限次元ベクトル空間の場合は、${\displaystyle V_{n}W}$、${\displaystyle V_{n}^{U}W}$、${\displaystyle V_{n}^{O}W}$は集合として自然に

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}W&\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/\mathrm {GL} _{m-n}(K)\\V_{n}^{U}W&\simeq U(m)/U(m-n)~~{\text{when }}K=\mathbb {C} \\V_{n}^{O}W&\simeq O(m)/O(m-n)~~{\text{when }}K=\mathbb {R} \end{aligned}}}$

という同一視ができ^{[注 3]}、上式右辺には多様体としての構造が入る事がリー群の一般論^{[注 4]}から従うので、スティーフェル「多様体」と呼ぶ。Wが無限次元の場合は${\displaystyle V_{n}W}$、${\displaystyle V_{n}^{U}W}$、${\displaystyle V_{n}^{O}W}$は有限次元多様体にはならないが、言葉を混用してこの場合もスティーフェル「多様体」と呼ぶ。

スティーフェル多様体と同様、Wが次元mの有限次元ベクトル空間であれば、

${\displaystyle G_{n}W\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/(\mathrm {GL} _{n}(K)\times \mathrm {GL} _{m-n}(K))\simeq {\begin{cases}U(m)/(U(n)\times U(m-n))~&~{\text{when }}K=\mathbb {C} \\O(m)/(O(n)\times O(m-n))~&~{\text{when }}K=\mathbb {R} \end{cases}}}$

および

${\displaystyle {\tilde {G}}_{n}W\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/(\mathrm {GL} _{n}^{+}(K)\times \mathrm {GL} _{m-n}(K))\simeq O(m)/(SO(n)\times O(m-n))~~{\text{when }}K=\mathbb {R} }$

という同一視ができ、この同一視により、${\displaystyle G_{n}W}$、${\displaystyle {\tilde {G}}_{n}W}$に多様体としての構造が入る。

スティーフェル多様体${\displaystyle V_{n}W}$の元であるn-フレームにそのフレームの貼る部分空間を対応させる事で商写像

${\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}W\to G_{n}W}$

を定義できる。${\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{U}W\to G_{n}W}$、${\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{O}W\to G_{n}W}$、${\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{O}W\to {\tilde {G}}_{n}W}$も同様に定義できる。

上記の定理に関する留意点を述べる。${\displaystyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R} }$に対するGL_n(K)の分類空間はU(n)、O(n)の分類空間と同一な空間${\displaystyle G_{n}K^{\infty }}$である。

これはCW複体上の任意のベクトルバンドルには必ず内積が定義でき、グラム・シュミットの正規直交化法によりGL_n(K)がU(n)、O(n)に可縮である事が理由である^[18]。

分類定理で述べたように、G_nK^∞上の主GL_n(K)-バンドルV_nK^∞に随伴するn次元ベクトルバンドルは、任意のCW複体X上のn次元ベクトルバンドルを分類する上で有益である。このためV_nK^∞に随伴するn次元ベクトルバンドルの事を普遍n-平面バンドル（英: universal n-plane bundle）^[19]と呼ぶ。

バンドルの一般論から、普遍n-平面バンドルは${\displaystyle (V_{n}K^{\infty }\times K^{n})/GL_{n}(K)}$と表記できるが、より具体的に表記する事も可能である。

グラスマン多様体G_nK^mはK^mのn次元部分ベクトル空間全体のなす多様体なので、グラスマン多様体の元V＝ベクトル空間上のファイバーとして、V自身を取ったベクトルバンドルを定義でき、これをグラスマン多様体のトートロジカル・バンドル（英語版）と呼ぶが、G_nK^∞のトートロジカル・バンドルが普遍n-平面バンドルになっている。

具体的には

${\displaystyle E_{n}^{m}:=\{(V,v)\in G_{n}K^{m}\times K^{m}\mid v\in V\}}$

とし、第一成分への射影${\displaystyle \pi _{n}^{m}~:~(V,v)\in E_{n}^{m}\mapsto V\in G_{n}K^{m}}$により${\displaystyle E_{n}^{m}}$をG_nK^m上のベクトルバンドルとみなしたものがG_nK^mのトートロジカル・バンドルであり、m→∞に関する帰納的極限をとった

${\displaystyle \pi _{n}~:~E_{n}\to G_{n}K^{\infty }}$

が普遍n-平面バンドルになっている^[19]。

本章では、複素ベクトルバンドルの特性類であるチャーン類について述べる。これまでの議論からわかるように、複素ベクトルバンドルの整数係数の特性類とは分類空間

${\displaystyle BGL_{n}(\mathbb {C} )=BU(n)=G_{n}\mathbb {C} ^{\infty }}$

のコホモロジー${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の元と1対1対応するので、${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の具体的構成を調べる事で複素ベクトルバンドルの特性類を決定できる。チャーン類は、${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の生成元である。

チャーン類について記述するため、まず${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の具体的構成を調べる。${\displaystyle n=1}$に対しては以下が成立する：

なお、上の補題において${\displaystyle \alpha }$は偶数次のコホモロジーの元なので、${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$上カップ積は可換であるため、${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$が可換環であるという事実と矛盾しない。

一般のnに対して${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の具体的構造を求めるため、連続準同型写像^{[注 6]}

${\displaystyle \iota ~:~U(1)^{n}\hookrightarrow U(n),~~(A_{1},\ldots ,A_{n})\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$

を考える。ここで${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$は${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$をn×n行列の対角成分に配置した${\displaystyle U(n)}$の元である。（なおリー群の観点からは、${\displaystyle U(n)}$の極大トーラス${\displaystyle U(1)^{n}}$である）。このとき以下が成立する。

なお、上式においてコホモロジー環における積はカップ積である。また上式の値域における同型は直積に対する分類空間の振る舞いとKünnethの公式（英語版）、および上記の補題から従う。

以上の事実から、後は${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の${\displaystyle \iota ^{*}}$による像が${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]}$のどのような部分集合に落ちるかを決定すれば、${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$を具体的に書きあらわす事ができる。

${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の像を決定するため、主バンドル一般に対して成立する以下の事実を利用する：

${\displaystyle A\in U(n)}$に対し${\displaystyle \varphi _{A}~:~B\mapsto ABA^{-1}}$を${\displaystyle U(n)}$上の内部自己同型とすると、上述の命題より、${\displaystyle \varphi _{A}}$がコホモロジー群に誘導する写像

${\displaystyle B\varphi _{A}{}^{*}~:~H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\to H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$

は恒等写像である。単射${\displaystyle \iota }$により${\displaystyle U(1)^{n}}$を${\displaystyle U(n)}$の部分群とみなし、${\displaystyle U(1)^{n}}$の正規化群

${\displaystyle N=\{A\in U(n)\mid \varphi _{A}(U(1)^{n})=U(1)^{n}\}}$

を${\displaystyle U(1)^{n}}$の中心化群

${\displaystyle Z=\{A\in U(n)\mid \forall B\in U(1)^{n}~:~\varphi _{A}(B)=B\}}$

で割った${\displaystyle W=N/Z}$を考え、

${\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}:=\{u\in H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\mid \forall [A]\in W~:~B\varphi _{A}|_{U(1)^{n}}{}^{*}(u)=u\}}$

と定義する^{[注 7]}とこの定義はWell-definedである。ここで${\displaystyle [A]\in W=N/Z}$は同値類を表す。

このとき次の事実が従う事が知られている：

一般に連結なコンパクトリー群Gに対し、Gの極大トーラスをTとするとき、Tの正規化群${\displaystyle N:=\{g\in G\mid \varphi _{g}(T)=T\}}$を中心化群${\displaystyle Z:=\{g\in G\mid \forall t\in T~:~\varphi _{g}(t)=t\}}$で割った群

${\displaystyle W(G):=N/Z}$

の事をGのワイル群という。なお極大トーラスは共役を除いて一意に定まる事が知られているので、ワイル群は極大トーラスの取り方によらず同型になる。またTの極大性から中心化群Z(G)は実はT自身に等しい。

明らかに前述のWは${\displaystyle U(n)}$のワイル群に相当する。後は${\displaystyle U(n)}$のワイル群を決定しさえすれば、${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\approx H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}}$の構造が決定できる。

${\displaystyle P_{ij}~:~\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$を第i成分と第j成分を入れ替える行列とすると、明らかに${\displaystyle [P_{ij}]\in W}$である。この事実を利用すると、以下の事実が示せる：

位相群に分類空間を対応させる関手Bと位相空間にコホモロジー環を対応させる関手H^*が直積を保つので、上述の定理からWは${\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]}$の${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$を入れ替える形で${\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )}$に作用する。よって

${\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}\subset H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]}$

は対称多項式全体の集合に一致する。よく知られているように、任意の対称多項式は基本対称式の多項式として書けるので、以上の事実からチャーン類を以下のように定義する：

分類空間${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の元と特性類は1対1でするので、第iチャーン類${\displaystyle c_{i}}$に対応する特性類

${\displaystyle c_{i}(\xi )}$

をベクトルバンドルξの第iチャーン類という。分類空間の元${\displaystyle c_{i}}$を${\displaystyle c_{i}(\xi )}$と区別したいときは、${\displaystyle c_{i}}$を第i普遍チャーン類（英: i-th universal Chern class）という。

なお、${\displaystyle 1\in H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )}$を「0次の基本対象式」とみなし、${\displaystyle c_{0}^{(n)}:=(\iota ^{*})^{-1}(1)=1}$を第0チャーン類と呼ぶ。また${\displaystyle n+1}$次以上の基本対称式は存在しないので、${\displaystyle m>n}$に対しては、第mチャーン類を${\displaystyle c_{m}^{(n)}:=0}$と定義する^{[注 8]}。

またチャーン類は埋め込み${\displaystyle \iota ~:~U(1)^{n}\to U(n)}$を使って定義されており、この埋め込みは${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$の正規直交基底の取り方に依存している。しかし正規直交基底の取り替えにより、${\displaystyle \iota }$は${\displaystyle U(n)}$の内部自己同型${\displaystyle \varphi _{A}}$との合成${\displaystyle \iota \circ \varphi _{A}}$に置き換わるだけなので、前述した命題から、チャーン類は正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。

以上で見たように各α₁,...,α_nは対称多項式の根に相当するものなので、α₁,...,α_nの事をチャーン根^{[訳語疑問点]}（Chern root^[21]）という。

これまでの議論とチャーン類の定義から明らかに以下の事実が従う：