パンデジタル数

パンデジタル数(パンデジタルすう、英: pandigital number)・汎位数は、自然数の内 n 進法において0から n − 1 までの全ての数字を少なくとも1つ使って表される数のことである。

概説[編集]

例えば十進法では0から9までの全ての数字を使った 276498604153 などがパンデジタル数に当たる。パンデジタル数は無数にあり、その内、十進法において最も小さいものは1023456789である。

十進法のパンデジタル数を1023456789から小さい順に列記すると

1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689, …(A050278)

n進法における最小のパンデジタル数は以下の式で表される。

${\displaystyle n^{n-1}+\sum _{d=2}^{n-1}dn^{(n-1)-d}}$

それぞれの位取り記数法における最小のパンデジタル数は以下の通り。

二進法で数を表せば 2ⁿ − 1 の形である 111…1（レピュニット）以外の自然数は全てパンデジタル数であるといえる。

十進法での具体例[編集]

十進法で最小のパンデジタル素数は10123457689である。十進法で数字が重複しないパンデジタル素数（十桁のパンデジタル数のうち素数であるもの）は存在しない。なぜなら10桁のパンデジタル数は各桁の数字の和が 0 + 1 + 2 + … + 9 = 45 となり、3(および9)の倍数となるからである。

11桁のパンデジタル素数で最大のものは98876532401である。

11桁のパンデジタル数の個数は 10! × (11 × 10 ÷ 2) × (9 ÷ 10) = 179625600 個である。

そのうち素数は6481542個である。

パンデジタル数である最小の平方数は 1026753849=32043²であり、10桁のパンデジタル数のうち最大の平方数は 9814072356=99066² である。10桁のパンデジタル平方数は87個ある。

0を使わないパンデジタル数では以下の2つのフリードマン数が知られている。

• 123456789 = ((86 + 2 × 7)⁵ - 91) / 3⁴
• 987654321 = (8 × (97 + 6/2)⁵ + 1) / 3⁴