倍数

数学において、数 a の倍数（ばいすう、英:multiple）とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、

… −3a, −2a , −a, 0, a, 2a, 3a, …

を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。

a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a の約数（「a を割り切る整数」）と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。

倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、

0, ±a, ±2a, ±3a, …

と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は（正の）倍数として

a, 2a, 3a, …

だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ を用いると、a の倍数は ${\displaystyle a\mathbb {Z} }$ である。

例[編集]

• 2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
  • 偶数に等しい。
• 3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, …
• 12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
  • 12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。

数学的性質[編集]

整数に関する性質[編集]

• 0 だけ倍数の個数が有限（0 のみ）である。（したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない）
• 0 は全ての数の倍数である。
• 全ての数は自分自身の倍数である。
• 全ての整数は 1 と −1 の倍数である。
• 偶数とは 2 の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できるが、この定義は 2 の倍数であることと同値である。
• a が整数のとき、N が a の倍数であることは、a が N の約数であることと同じ意味である。
• 整数 a, b に対して、b が a で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同値である。すなわち、

${\displaystyle a\mid b\Leftrightarrow b\mathbb {Z} \subset a\mathbb {Z} }$

• 2 以上の整数はある素数の倍数である。
• 素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。

（→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ）

• a の倍数かつ b の倍数であるものを a と b の公倍数という（3個以上の場合でも同様）。ab は a と b の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
  • a と b の公倍数は a と b の最小公倍数の倍数である。
• a の倍数の倍数は a の倍数である。
• P, Q が 共に a の倍数ならば、kP + lQ（k, l は整数）は共に a の倍数である。
  • 特に、P ± Q は a の倍数である
• 有理整数環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ で二項関係を ${\displaystyle x-y\in a\mathbb {Z} }$ で定義すると、これは同値関係になる。
  • その商集合 ${\displaystyle \mathbb {Z} /a\mathbb {Z} }$ は加法に関するアーベル群である。（→同値関係#商集合の例）

整除性の判定法[編集]

整除性の判定法^[1]（せいじょせいのはんていほう, 英: divisibility rule, 仏: critère de divisibilité, 露: признаки делимости, 中: 整除规则）は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか（余りがゼロであるか）を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。倍数の判定法ともいう^[2]。

様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。

一の位の数で判定

一の位がMであればMの倍数、という方法。

各桁の和（数字和）で判定

一桁の最後の数（10-1）の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での（2、4、）8の倍数、十進数での（3、）9の倍数、十六進数での（3、5、）15の倍数、二十五進数の（2、3、4、6、8、12）24の倍数など。

下P桁で判定

下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。

11が合成数の場合

11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例：八進数での9（= 11₈）の倍数（3² = 11）、二十進数での3の倍数と7の倍数（3×7 = 11）、三十二進数での3の倍数と11の倍数（33 = 11）など。

一の位をa倍

乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数（7×3 = 21）、十二進数における5の倍数（5×5 = 21）、十六進数における11の倍数（3×B ＝ 21）、四十進数における3³ の倍数（3×3×3×3 ＝ 21）など。

乗算表の最後の数｛(10-1)² = a1｝の場合は、一の位をa倍して、「整数第二位以上」と「一の位をa倍」の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での3⁴ = 81の倍数など。

「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算

「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15（11₁₀）の倍数、十進数での3⁵ = 243 の倍数など。

素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。

とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 3²+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである（その上に10の素因数も複数ある）。例えば、2³×3²×5 = 1400₍₆₎ = 360₍₁₀₎の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類（1400, 3200, 5000, 10400…）、十進数だと「一の位が0、整数第二位～第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計25₁₀種類（360, 720, 1080, 1440,1800,2160,2520…）となる。

十進数での例[編集]

十進数での倍数判定法がいくつか存在する。

割る数Mが51以上の倍数判定法の例を以下に示す。

• 一の位を5倍して、整数第二位以上と一の位の5倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 51 で割って余りが 0 であれば、その数は 51 の倍数である。
• 一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 81 で割って余りが 0 であれば、その数は 81 の倍数である。
• 下から2桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 99 で割り切れれば、その数は 99 の倍数である。
• 下から4桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 101 で割り切れれば、その数は 101 の倍数である。
• 下三桁が 125 の倍数（つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000）ならば、その数は 125 の倍数である。

これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることにより、これ以外の整数の倍数であるか判定することができる。一般に、整数Nが N = a*b*c*…*n と表せるとき、a, b, c,･･･, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。

• 4の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は108の倍数である。
• 5の倍数判定法と37の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は185の倍数である。
• 3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は240の倍数である。
• 2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は378の倍数である。
• 8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は792の倍数である。

出典[編集]

参考文献[編集]

• 『日本大百科全書』 13巻（初版第一刷）、小学館、1987年11月1日。ISBN 4-09-526018-1。 
• Fritz Reinhardt 著、長岡昇勇et長岡由美子 訳『カラー図解 学校数学事典』共立出版、2014年4月25日。ISBN 978-4-320-01895-2。 
• Bettina Richmond; Thomas Richmond (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. 3. American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-4789-3 

関連項目[編集]

• 倍
• 倍数詞
• 公倍数
• 最小公倍数
• 偶数
• 約数
• 倍数比例の法則
• 倍数性