共分散分析

共分散分析（きょうぶんさんぶんせき、analysis of covariance、ANCOVA）は、分散分析（ANOVA）と回帰を組み合わせた一般線形モデルである。共変量の効果をコントロールしながら、アウトカムの平均が、カテゴリカル独立変数である処置（treatment） の水準によらず等しいかを評価する。数学的には、アウトカムの分散を、共変量による分散、処置による分散、残差分散に分解する。共分散の群平均によってアウトカムを調整していると考えることもできる^[1]。

共分散分析では、${\displaystyle i}$ 番目の処置群での ${\displaystyle j}$ 番目の観測に関して、アウトカム ${\displaystyle y_{ij}}$ と共変量 ${\displaystyle x_{ij}}$ との間に線形関係を仮定する。

${\displaystyle y_{ij}=\mu +\tau _{i}+\beta \,(x_{ij}-{\overline {x}})+\epsilon _{ij}}$

アウトカムの総平均 ${\displaystyle \mu }$ と共変量のグローバル平均 ${\displaystyle {\overline {x}}}$ は観測データから導出される。処置効果 ${\displaystyle \tau _{i}}$、${\displaystyle \beta }$（回帰直線の傾き）、${\displaystyle \epsilon _{ij}}$ （未観測誤差項）をフィッティングする。

この仮定の下、処置効果の総和はゼロになる。

${\displaystyle \sum _{i}\tau _{i}=0}$

後述のように、線形回帰モデルの標準的な仮定が成立しているものとする^[2]。

使用法[編集]

検出力を上げる[編集]

ANCOVAは、群内の誤差分散を減らし、統計的検出力（群間差がある場合に、実際にその差が有意と判定される確率）を高めるため使用できる^[3]。これを理解するためには、F検定（群間差を評価する検定）を理解する必要である。 F検定では、群間分散を群内分散で割ることによって計算する。

${\displaystyle F={\frac {\mathrm {MS} _{\mathrm {between} }}{\mathrm {MS} _{\mathrm {within} }}}}$

この値が臨界値よりも大きければ、群間に有意差があると判断する。説明できない分散には、他の要因の影響だけではく、誤差分散（個人差など）も含まれる。共変量の影響は分母にまとめられる。共変量のアウトカムへの影響をコントロールすると、それが分母から除外されて F が大きくなり、検出力が大きくなる。

所与の差を調整する[編集]

ANCOVA のもう一つの使用法は、非等価群の所与の差を調整することである。割り付け前のアウトカムの群間差を修正することを目的とする。無作為割付が不可能な状況で、共変量によってスコアを調整し、比較可能性を高めるために使用される。しかし、群間差を消すことはできない。また、共変量と処置とが相関するため、共変量に関するアウトカムの分散を取り除くことで処置に関するアウトカムの分散まで取り除いてしまう可能性がある^[4]。

仮定[編集]

ANCOVAの使用の基礎となり、結果の解釈に影響を与える重要な仮定がある^[2]。標準的な線形回帰の仮定が保持され、共変量の傾きが全ての処置群で等しいと仮定する（回帰勾配の均一性）。

仮定1：回帰の線形性[編集]

アウトカムと変数との回帰関係は線形でなければならない。

仮定2：誤差分散の均一性[編集]

誤差は確率変数であり、さまざまな処置と観測に対して、平均がゼロで分散が等しい。

仮定3：誤差項の独立性[編集]

誤差は無相関である。すなわち、誤差の共分散行列は対角行列である。

仮定4：誤差項の正規性[編集]

誤差（残差）は平均ゼロの正規分布に従う。

${\displaystyle \epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma ^{2})}$

仮定5：回帰勾配の均一性[編集]

異なる回帰直線の傾きは同じである。すなわち、回帰直線はグループ間で平行である。

異なる回帰勾配の均一性に関する5番目の問題は、ANCOVAモデルの適切性を評価する上で特に重要です。また、正規分布する必要があるのは誤差項のみであることに注意してください。実際、ほとんどの場合、独立変数と付随変数の両方が正規分布しません。

ANCOVAの実施[編集]

多重共線性を検定する[編集]

共変量が別の共変量と強く相関する場合、統計的に冗長であるため、どちらか一方の共変量を削除する。

分散の均一性の仮定を検定する[編集]

誤差分散の均一性に関してルビーン検定を行う。共変量で調整した後の均一性が最も重要だが、調整前に均一なら、調整後も均一である可能性が高い。

回帰勾配の均一性を検定する[編集]

共変量と処置との相互作用を確認するために、相互作用項を含めたモデルを作成する。 相互作用が有意なら ANCOVA は実行すべきではない。Green らは、共変量で層別化して、アウトカムの群間差を評価することを提案している^[5]。

ANCOVA分析を実行する[編集]

回帰勾配の均一性が確認されたら、交互作用項なしで ANCOVA を実行する。この分析では、調整済み平均と調整済み平均二乗誤差を使用する。調整済み平均（最小二乗平均、LS平均、推定周辺平均、EMMとも呼ばる）は、アウトカムに対する共変量の影響をコントロールした後の群平均を指す。

フォローアップ分析[編集]

主効果が有意であった場合、いずれかの処置の水準間に有意差があることを意味する^[6]。どの水準が互いに有意に異なるかを正確に見つけるために、ANOVAの場合と同じフォローアップテストを使用できる。 処置が複数ある場合、相互作用がある可能性があります。これは、アウトカムに対する1つの処置の影響が、別の要因の水準に応じて変化することを意味する。階乗ANOVAと同じ方法を使用して、単純主効果を調査できる。

検出力に関する注意事項[編集]

従属変数の分散の一部を説明できる共変量を ANOVA に加えることで、統計的検出力が大きくことが期待される。しかし、追加した共変量が従属変数の分散をほとんど説明しない場合、自由度が減って検出力はむしろ小さくなる可能性もある。

関連項目[編集]

• 分散分析（ANOVA）
• 共分散の多変量分析（MANCOVA）

脚注[編集]

外部リンク[編集]

• Examples of all ANOVA and ANCOVA models with up to three treatment factors, including randomized block, split plot, repeated measures, and Latin squares, and their analysis in R (University of Southampton)
• One-Way Analysis of Covariance for Independent Samples
• What is analysis of covariance used for?
• Use of covariates in randomized controlled trials by G.J.P. Van Breukelen and K.R.A. Van Dijk (2007)

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存分析	生存関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
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