多面体

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多面体の例

正四面体 正多面体	小星型十二面体 星型正多面体
二十・十二面体 半正多面体	大立方立方八面体 一様星形多面体（英語版）
菱形三十面体 カタランの立体	穿孔多面体

多面体（ためんたい、英: polyhedron）は、4つ以上の平面に囲まれた立体のこと。 複数の頂点を結ぶ直線の辺と、その辺に囲まれた面によって構成される。 したがって、円柱などの曲面をもつものは含まず、また、すべての面の境界が直線である場合に限られる。 3次元空間での多胞体であるとも定義できる。

2次元空間での多胞体は多角形なので、多角形を3次元に拡張した概念であるとも言える。

英語ではポリヘドロン (polyhedron)、複数形はポリヘドラ (polyhedra) である。多角形のポリゴン (polygon) の複数形がポリゴンズ (polygons) であるのとは異なる。また、類似しているものとして、正多面体や半正多面体などがある。

オイラーの多面体定理（オイラーの多面体公式）[編集]

穴の開いていない多面体、すなわち球面に同相な多面体については、頂点、辺、面の数 v, e, f について

${\displaystyle v-e+f=2}$

が成り立つ。これをオイラーの多面体定理（オイラーの多面体公式）という。

この定理は、実際に多面体として成り立つような形状にとどまらず、頂点と辺から成るような任意の「グラフ」について扱うグラフ理論による定理である。たとえば穿孔多面体のような貫通した孔を g 個持つ多面体では次式（オイラー・ポアンカレの多面体公式^[1]）となる。

${\displaystyle v-e+f=2(1-g)}$

分類[編集]

凸多面体[編集]

凸多面体は全ての二面角が180度未満の多面体である。

• 正多面体（プラトンの立体） - 全ての面が合同な正多角形で、全ての頂点形状が合同な正多角形である多面体。
• 半正多面体（アルキメデスの立体） - 全ての面が正多角形で、全ての頂点形状が合同な凸多面体のうち、正多面体以外。
• カタランの立体（アルキメデス双対） - 全ての面が合同で、二面角が等しい多面体のうち、正多面体以外。各面の中心を結ぶと半正多面体になる。
• デルタ多面体 - 全ての面が正三角形である凸多面体。
• 角柱 - 2枚の平行な底面と四辺形の側面からなる多面体。
• 反角柱 - 2枚の平行な底面と三角形の側面からなる多面体。
• ジョンソンの立体 - 全ての面が正多角形である凸多面体のうち、正多面体、半正多面体、角柱、反角柱以外。
• 角錐 - 1枚の底面と三角形の側面からなる多面体。
• 双角錐 - 2つの角錐を底面で張り合わせた多面体。
• ねじれ双角錐 - 双角錐を両頭頂点でねじったような、反角柱の双対となる多面体。
• 角錐柱 - 角錐と角柱を底面で張り合わせた多面体。
• 角台塔 - 辺の数の比が1:2で平行な2枚の底面と、四角形と三角形の側面を持つ多面体。
• ゾーン多面体 - 向かいあった辺同士が全て平行になっている多角形のみで構成されている多面体。
• 等面菱形多面体 - 全ての面が合同な菱形である多面体。平行多面体 - 単独で空間充填をするゾーン多面体。

凹多面体[編集]

凹多面体はいずれかの二面角が180度を超える多面体である。

• 星型多面体 - 面または頂点形状に星型多角形がある多面体。
• 星型正多面体（ケプラー・ポアンソの立体） - 全ての面が合同な正多角形（星型多角形を含む）で、全ての頂点形状が合同な正多角形（星型多角形を含む）である多面体のうち、凸正多面体以外。
• 複合多面体 - 同一形状の多面体を複数個重ね合わせた立体。
• 複合体 - 複数の多面体を体積の一部が共有するようにして重ねた立体。
• 一様多面体 - 全ての面が正多角形(星型正多角形)で、全ての頂点形状が合同な多面体。この中には凸多面体と非凸多面体が含まれる。
• 穿孔多面体 - 貫通した孔のある多面体。
• 単側多面体 - メビウスの帯やクラインの壺のように表裏の区別のつかない多面体。^[2]

以上は閉じた多面体の分類であるが、多面体の定義を「空間内で複数の多角形を辺で連結された立体」と緩めることによって、

• 開多面体 - 空間を切り取らない有限面体
• ねじれ正多面体（スポンジ） - 全ての面が合同な正多角形で、ジグザグの頂点形状を持ち空間を二分する無限の面をもつ多面体

といった開いた多面体も論じられる場合がある。

作図[編集]

• 双対多面体 - 各面の中心を結ぶ。
• 星型多面体 - 各面を広げる。

脚注[編集]

関連項目[編集]

ウィキメディア・コモンズには、多面体に関連するメディアがあります。

• 図形の一覧
• ゾム（ゾムツール）
• 有向マトロイド
• 倍数接頭辞 ：mono-、di-、tri-、tetra-等の接頭辞に関する項目。英語での多角形の命名に用いる。(regular dodecahedron等)
• サイコロ
• 図形

外部リンク[編集]

• Weisstein, Eric W. "Polyhedron". mathworld.wolfram.com (英語).
• polyhedron in nLab
• polyhedron - PlanetMath.（英語）
• Definition:Polyhedron at ProofWiki
• BSE-3 (2001), “Polyhedron”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Polyhedron 
• 野波慶矩「立体認識における構造模型の有効性 : 編み上げ多面体と多面体の組みモデル」、三重大学、2007年、hdl:10076/8960。 
  • 大和市　数学プリモン "http://www.ed2.city.yamato.kanagawa.jp/archive/sugaku/1nen/c1-6-a.pdf"

表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド（英語版） 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形