尤度比検定

尤度比検定（ゆうどひけんてい、英: likelihood ratio test）とは、尤度比を検定統計量として用いる統計学的検定の総称である。

検定統計量とは検定に用いる統計量（標本データの関数）であり、その値が予め決めた有意水準より小さいならば帰無仮説を棄却する検定を行う。

尤度比による検定[編集]

単純二仮説の場合には尤度比検定は一様最強検出力検定となる（ネイマン・ピアソンの補題）。

一般の場合には、尤度比 Λ とは、帰無仮説が成り立つとした条件下での尤度関数の最大値を、その条件がない場合の尤度関数の最大値で割った比をいう。帰無仮説が成り立つとすると、普通の確率分布族に対して、 −2 log Λ が特に便利な漸近的分布となる。

統計モデルとして母数の決まった確率密度（または質量）関数族 f_θ(x) を用い、帰無仮説として「母数 θ は母数空間Θの特定の部分集合 Θ₀ に含まれる」とすることが多い。尤度比${\displaystyle \Lambda (x)}$は L(θ) = L(θ| x) = p(x|θ) = f_θ(x) で、x を特定の値（実際の測定データ）に固定した上での母数 θ の関数である。すなわち、

${\displaystyle \Lambda (x)={\frac {\sup\{\,L(\theta \mid x):\theta \in \Theta _{0}\,\}}{\sup\{\,L(\theta \mid x):\theta \in \Theta \,\}}}}$

Z検定^[1]、F検定^[2]、ピアソンのカイ二乗検定、G検定 など多くの普通用いられる検定法は、尤度比の対数（対数尤度）を用いた検定、もしくはそれの近似とみることができる。

たとえば、帰無仮説が正しく、n 個の一連の独立な同じ分布に従う確率変数を観測するものとすれば、標本サイズ n を無限大にすれば検定統計量 −2 log Λ は漸近的にカイ二乗分布（その自由度は Θ と Θ₀ の次元の差に等しい）となる。

このような近似はコンピュータがなかった時代には非常に有用であったが、現在は他の方法が正確で有用な場合もある。

例[編集]

ピアソンのカイ二乗検定を使って、2枚のコインで表が出る確率が同じかどうかを比較しよう。観察結果は分割表（行がコイン、列が表H・裏T）に書ける。表の要素は、その行のコインで表、裏が出た回数である。表の内容が観察 Xである。

ここで ω は母数p_1H 、p_1T 、p_2H およびp_2T （コイン1(2)で表H(裏T)が出る確率）からなる。仮説空間H はp_ij ≥ 0、 p_ij ≤ 1 で p_iH + p_iT = 1 という分布の条件により定義される。帰無仮説 H₀ は p_1j = p_2j となる部分空間である。（以上で i = 1,2 、 j = H,T ）

仮説と帰無仮説は望みの分布に合うように、対数尤度比に対する条件を満たす形で少し書き換えることができる。条件により2次元の H は1次元の H₀ に減らされるから、検定に対応する漸近的分布は χ²(1)（自由度1の χ² 分布）となる。

一般の分割表では、対数尤度比統計量は次のように書ける：

${\displaystyle -2\log \Lambda =\sum _{i,j}k_{ij}\log {p_{ij} \over m_{ij}}}$

脚注[編集]

関連項目[編集]

• 尤度関数

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
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