百二十角形

百二十角形（ひゃくにじゅうかくけい、ひゃくにじゅうかっけい、hecatonicosagon）は、多角形の一つで、120本の辺と120個の頂点を持つ図形である。内角の和は21240°、対角線の本数は7020本である。

正百二十角形[編集]

正百二十角形においては、中心角と外角は3°で、内角は177°となる。一辺の長さが a の正百二十角形の面積 S は

S={\frac {120}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{120}}\simeq 1145.65378a^{2}

$\cos(2\pi /120)$ は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。

\cos {\frac {2\pi }{120}}=\cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}

正百二十角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。

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