連続確率分布

連続確率分布（れんぞくかくりつぶんぷ、英: continuous probability distribution）や連続型確率分布（れんぞくがたかくりつぶんぷ）は、確率論において、累積分布関数が連続な確率分布である。連続確率分布となるのは確率変数 $X$ が連続型のときに限られる。絶対連続分布と区別する際は広義連続分布と呼ぶ。

広義連続分布では、確率変数 X の値 a に対して常に $P(X = a) = 0$ である。これは必要十分条件である。しかし、確率変数が連続型でも広義連続分布でない場合は、必ずしもそうではない。広義連続分布ではない例として退化分布がある。退化分布などでは $P(X = a) > 0$ となることもありうる。

広義連続分布では確率密度関数が存在しない場合があるが、絶対連続分布では必ず確率密度関数が存在する。

なお、連続確率分布は単に確率変数が実数などの連続値になる場合の確率分布のことでは無い。条件は更に厳しく、累積分布関数が連続であることも必要である。

区間に対する確率[編集]

「確率密度関数」も参照

連続分布では確率分布の確率変数 $X$ において、全ての実数 $a$ について $P(X = a) = 0$ になる。すなわち、 $X$ が値 $a$ を取る確率は、任意の $a$ について $0$ である。離散確率分布では確率 $0$ の事象は空事象、つまり起こらないことを意味する（例えばサイコロの目が3.5になる確率は $0$ ）が、連続型確率変数ではこれは正しくない。例えば、ある木の葉っぱの幅を測るとして、それが3.5cmとなることもありうるが、その確率は $0$ である。何故なら3cmと4cmの間には無限に多数の値があるためであり、個々の値が測定できる確率はゼロだが、ある区間の値となる確率は $0$ ではなく、例えば P(3 ≦ X ≦ 4) = 0.1 のように区間に対して確率を考える。X が区間のような無限集合内の何らかの値を取る確率は、個々の確率値を単純に加算するのではなく、確率密度関数を定積分して求める。この例では $\int _{3}^{4}f(x)\,dx=0.1$ である。また、累積分布関数を用い P(3 ≦ X ≦ 4) = F(4) - F(3) という扱い方もする。

絶対連続分布[編集]

累積分布関数が「連続」であるという用語は、「ルベーグ測度に対して絶対連続」という意味で使われることもある。 $σ$ -有限である確率空間において、確率分布が可測関数のルベーグ積分で表されるための必要十分条件は、累積分布関数 $F X$ が絶対連続であることである（ラドン＝ニコディムの定理）。このときのラドン＝ニコディム微分を確率密度関数という。確率分布 $P X$ が絶対連続であるとは、ルベーグ測度が $0$ の $\mathbb {R}$ の部分集合 $N$ をとる確率が $0$ である。絶対連続 ⊆ 連続であり、絶対連続分布 ⊆ 広義連続分布 ⊆ 連続型確率変数の確率分布である。

ルベーグ測度が $0$ の非可算な集合（たとえばカントール集合）も存在するため、累積分布関数が連続（つまり、任意の実数 $a$ について $P(X = a) = 0$ ）であっても絶対連続でない例が存在する。カントール分布は（本来の意味では）連続だが、絶対連続ではない。

実際の応用においては、確率変数は離散的な場合も絶対連続な場合も、それらの混合の場合もある。しかし、カントール分布は離散的でも離散分布と絶対連続分布の重み付き平均でもない。

正規分布、連続一様分布、ベータ分布、ガンマ分布は、絶対連続分布としてよく知られている。正規分布は、中心極限定理があるため、自然界や統計ではよく現れる。多数の小さな独立変数の総和としてモデル化できる変数は総じて、正規分布に近似できる。

外部リンク[編集]

Continuous Random Variables. John Appleby, School of Mathematical Sciences, Dublin City University.

表話編歴確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項（英語版）二項 categorical（英語版）超幾何ポワソン二項ラーデマッハ（英語版）離散一様ジップジップ–マンデルブロー（英語版）
離散単変量で無限台	ベータ負二項（英語版）ボレル（英語版）コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版）離散位相型（英語版）ドラポルト（英語版）拡張負二項（英語版）ガウス–クズミン幾何対数（英語版）負の二項放物フラクタル（英語版）ポワソンスケラム（英語版）ユール–サイモン（英語版）ゼータ（英語版）
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦（英語版） ARGUS（英語版）バルディング–ニコルス（英語版）ベイツ（英語版）ベータ beta rectangular（英語版）アーウィン–ホール（英語版）クマラスワミー（英語版）ロジット-正規（英語版）非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版） reciprocal（英語版）三角 U-quadratic（英語版）一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニ（英語版）ベンクタンダー第一種（英語版）ベンクタンダー第二種（英語版）第2種ベータ Burr（英語版）カイ二乗カイ（英語版） Dagum（英語版）デービス（英語版）指数-対数（英語版）アーラン指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版）フレシェガンマ gamma/Gompertz（英語版）一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版） half-normal（英語版） Hotelling's T-squared（英語版）超アーラン（英語版）超指数（英語版） hypoexponential（英語版）逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版）逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス（英語版）対数ロジスティック（英語版）対数正規ロマックス（英語版）行列指数（英語版）マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナー（英語版）ミッタク-レフラー（英語版）仲上（英語版）非心カイ二乗パレート位相型（英語版） poly-Weibull（英語版）レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版）ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版）切断正規タイプ2ガンベル（英語版）ワイブル離散ワイブル（英語版）ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪（英語版）フィッシャーの z（英語版）ガウスの q（英語版）一般正規（英語版）一般化双曲型幾何安定（英語版）ガンベルホルツマルク（英語版）双曲線正割ジョンソンの S_U（英語版）ランダウラプラス非対称ラプラス（英語版）ロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版）歪正規（英語版）スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版）トレイシー–ウィダム（英語版）分散ガンマ（英語版）フォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレート（英語版）マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版）トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量	rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ（英語版）多項ディリクレ多項（英語版）負多項（英語版）【連続】ディリクレ一般ディリクレ（英語版）多変量正規多変量安定（英語版）多変量 t（英語版）正規逆ガンマ（英語版）正規ガンマ（英語版）【行列値】逆行列ガンマ（英語版）逆ウィッシャート（英語版）行列正規（英語版）行列 t（英語版）行列ガンマ（英語版）正規逆ウィッシャート（英語版）正規ウィッシャート（英語版）ウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様（英語版）単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版）【二変量 (球面)】ケント（英語版）【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス（英語版）【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版）ビンガム（英語版）
退化と特異	【退化】ディラックのデルタ関数【特異】カントール
族	円周（英語版）混合ポワソン（英語版）楕円（英語版）指数自然指数（英語版）位置尺度（英語版）最大エントロピー（英語版）混合（英語版）ピアソン（英語版）トウィーディ（英語版） wrapped（英語版）
サンプリング法（英語版）	逆関数サンプリング法マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング）粒子フィルタボックス＝ミュラー法棄却サンプリング（英語版）ジッグラト法（英語版）マルサグリア法（英語版）
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外部リンク[編集]

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