閉微分形式

微分位相幾何学における微分形式が閉 (closed) である、または閉微分形式（へいびぶんけいしき、英: closed differential form、短く閉形式 (closed form) とは、その外微分が零となるときに言う。

シュヴァルツの定理により、 $C 1$ -級（フランス語版）函数係数の任意の完全微分形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はこの部分的な逆を保証する。

一次微分形式の場合[編集]

詳細は「1-形式」を参照

$n$ -次元の 1-形式 ${\textstyle \omega (u)=a_{1}(u){\mathit {dx}}_{1}+\dotsb +a_{n}(u){\mathit {dx}}_{n}}$ が閉であるとは、

{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}=0\quad (\forall i<j\leq n)

が成り立つことである。これは全部で

n (n - 1)/2

この条件を満足することを言っている。

一次元の場合、可微分 1-形式 $ω ≔ A (x) dx$ は常に閉である。
二次元の場合、1-形式 $ω ≔ A (x, y) dx + B (x, y) dy$ が閉となるのは、 ${\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y}$ を満たすときである。
三次元の場合、1-形式 $ω ≔ A (x, y, z) dx + B (x, y, z) dy + C (x, y, z) dz$ が閉となるのは、 ${\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}$ となるときである。これは $Ω ≔ t (A, B, C)$ に対して $rot Ω = 0$ となることに対応する。

（フランス語） Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles ^{[要文献特定詳細情報]}
（フランス語） Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]