랴푸노프 방정식
제어이론에서 이산 랴푸노프 방정식은 다음과 같은 형태이다.
![{\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ccb4896d8bdb89fe5eb666eb4747af4695a5c9)
여기서 Q는 에르미트 행렬이다. 연속 랴푸노프 방정식의 형태는 다음과 같다.
.
랴푸노프 방정식은 제어 이론의 많은 분야에서 사용되는데, 예를 들어 랴푸노프 안정성, 최적 제어 등이 있다. 이 방정식은 러시아 수학자인 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 따온 것이다.
안정성 증명[편집]
행렬
와 대칭행렬
에 대하여 다음의 정리가 성립한다.
정리(이산 시간 버전). 주어진
에 대하여,
을 만족하는
,
가 존재하면, 선형 시스템
는 초기조건에 관계없이 0으로 수렴한다. 이 때 이차함수
는 안정화를 확인하는 랴푸노프 함수이다.
정리(연속 시간 버전). 주어진
에 대하여,
을 만족하는
,
가 존재하면, 선형 시스템
는 초기조건에 관계없이 0으로 수렴한다. 이 때 이차함수
는 랴푸노프 함수이다.
해의 계산[편집]
주어진
에 대하여
를
의 열을 쌓아서 벡터로 변환하는 연산자로 정의하고,
를
와
의 크로네커 곱으로 정의하자. 두 연산자를 사용하여 랴푸노프 방정식을 선형 방정식으로 변환할 수 있고,
가 안정한 경우 적분 (연속 시간의 경우) 혹은 무한급수 (이산 시간의 경우)를 사용하여 해를 표현할 수 있다.
이산 시간[편집]
연산자
의 성질인
를 이용하면, 랴푸노프 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.
![{\displaystyle (I-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da15ff3bd7ed71c1ff3b5f5e33d17fb29be08b3d)
이 때
은 항등행렬이고,
의 원소는
의 원소의 복소켤레들이다.[1] 위의 선형 방정식을 풀고나면
를 얻고, 이를 통해
를 얻을 수 있다. 만약
가 안정한 경우,
는 다음과 같이 구할 수도 있다.
.
연속 시간[편집]
이산 시간의 경우와 마찬가지로
를 이용하여 다음의 선형 방정식을 얻을 수 있다.
![{\displaystyle (I\otimes A+{\bar {A}}\otimes I)\operatorname {vec} (X)=-\operatorname {vec} (Q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01621dd99f7dd6b0725c1fef8e2525c534979601)
만약
가 안정한 경우,
는 다음과 같이 구할 수도 있다.
.
컴퓨터를 이용한 해의 계산[편집]
소프트웨어를 이용하여 랴푸노프 방정식의 해를 구할 수 있다. 이산 시간의 경우는 키타가와의 슈어 방법(the Schur method of Kitagawa (1977))이 자주 사용된다. 연속 시간의 경우는 바터와 슈튜어트의 방법(method of Bartels and Stewart (1972))을 사용한다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Kitagawa: An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S, International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).
- R. H. Bartels and G. W. Stewart: Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.
- ↑ Hamilton, J. (1994). 《Time Series Analysis》. Princeton University Press. Equations 10.2.13 and 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.