유클리드 평면에 매장된 원의 접다발의 형상화. 3차원 유클리드 공간에 매장된 구 의 접공간은 유클리드 공간 속의 평면으로 형상화된다. 미분기하학 에서, 매끄러운 다양체 의 접다발 (接-, 영어 : tangent bundle )은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합 들로 구성된 벡터 다발 이다.
M {\displaystyle M} 이 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계
( U i , ϕ i : U i → R n ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i},\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자 ( ( U i ) ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{\in I}} 는 M {\displaystyle M} 의 열린 덮개 ).
그렇다면, M {\displaystyle M} 의 접다발 은 다음과 같은 위상 공간 이다.
T M = ⨆ i ∈ I U i × R n ∼ {\displaystyle \mathrm {T} M={\frac {\bigsqcup _{i\in I}U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim }}} 여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 은 다음과 같다.
( x , u ) ∼ ( x , v ) ⟺ ∀ μ ∈ { 1 , … , n } : u μ = ∑ ν = 1 n v ν ∂ ϕ i ( x ) μ ∂ ϕ j ( x ) ν ∀ i , j ∈ I , x ∈ U i ∩ U j , u , v ∈ R n {\displaystyle (x,u)\sim (x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u^{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}v^{\nu }{\frac {\partial \phi _{i}(x)^{\mu }}{\partial \phi _{j}(x)^{\nu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U_{i}\cap U_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}} 여기서 ϕ i ( x ) μ {\displaystyle \phi _{i}(x)^{\mu }} 는 ϕ i ( x ) ∈ R n {\displaystyle \phi _{i}(x)\in \mathbb {R} ^{n}} 의 μ {\displaystyle \mu } 번째 성분이다.
그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상
π : T M ↠ M {\displaystyle \pi \colon \mathrm {T} M\twoheadrightarrow M} π : [ ( x , v ) ] ↦ x {\displaystyle \pi \colon [(x,v)]\mapsto x} 을 통해 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 을 이룬다.
x ∈ M {\displaystyle x\in M} 의 접공간 (接空間, 영어 : tangent space ) T x M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}M} 은 접다발의 올 이다. 만약 M {\displaystyle M} 에서 어떤 유클리드 공간 으로의 (매끄러운) 몰입 이 주어졌다면, 이는 M {\displaystyle M} 에 "접하는" n {\displaystyle n} 차원 초평면으로 여길 수 있다.
매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 접다발의 쌍대 벡터 다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 을 공변접다발 (共變接- 영어 : cotangent bundle ) 또는 여접다발 (餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로
T ∗ M = ⨆ i ∈ I U i × R n ∼ ′ {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M={\frac {\bigsqcup _{i\in I}U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim '}}} ( x , u ) ∼ ′ ( x , v ) ⟺ ∀ μ ∈ { 1 , … , n } : u μ = ∑ ν = 1 n v ν ∂ ϕ j ( x ) ν ∂ ϕ i ( x ) μ ∀ i , j ∈ I , x ∈ U i ∩ U j , u , v ∈ R n {\displaystyle (x,u)\sim '(x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}v_{\nu }{\frac {\partial \phi _{j}(x)^{\nu }}{\partial \phi _{i}(x)^{\mu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U_{i}\cap U_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}} 와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로, x ∈ M {\displaystyle x\in M} 의 공변접공간 (共變接空間, 영어 : cotangent space ) T x ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M} 은 공변접다발의 올 이다.
벡터장과 텐서장 [ 편집 ] M {\displaystyle M} 의 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 의 매끄러운 단면 을 벡터장 이라고 한다. M {\displaystyle M} 의 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 의 매끄러운 단면 을 1차 미분 형식 이라고 한다. M {\displaystyle M} 의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱
T M ⊗ ⋯ T M ⏞ p ⊗ T ∗ M ⊗ ⋯ ⊗ T ∗ M ⏞ q {\displaystyle \overbrace {\mathrm {T} M\otimes \cdots \mathrm {T} M} ^{p}\otimes \overbrace {\mathrm {T} ^{*}M\otimes \cdots \otimes \mathrm {T} ^{*}M} ^{q}} 의 매끄러운 단면 을 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 차 텐서장 이라고 한다.
만약 어떤 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면, M {\displaystyle M} 을 평행화 가능 다양체 (영어 : parallelizable manifold )라고 한다. 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 S 0 {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}} , S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} , S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} , S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 밖에 없다.
모든 3차원 가향 다양체 는 평행화 가능 다양체이다.
리만 다양체 [ 편집 ] 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 경우, 각 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상
( − ) ♭ : T x M → T x ∗ M {\displaystyle (-)^{\flat }\colon \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}^{*}M} ( − ) ♭ : v ↦ g ( v , − ) {\displaystyle (-)^{\flat }\colon v\mapsto g(v,-)} ( − ) ♯ : T x ∗ M → T x M {\displaystyle (-)^{\sharp }\colon \mathrm {T} _{x}^{*}M\to \mathrm {T} _{x}M} ( − ) ♯ : g ( v , − ) ↦ v {\displaystyle (-)^{\sharp }\colon g(v,-)\mapsto v} 이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상 을 정의한다. 이를 음악 동형 (音樂同形, 영어 : musical isomorphism )이라고 한다.
여기서 "음악"이라는 어원은 악보 의 올림표 (♯)와 내림표 (♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자( μ {\displaystyle ^{\mu }} ), 공변접다발의 단면은 아랫첨자( μ {\displaystyle _{\mu }} )로 표기하므로, ( − ) ♭ {\displaystyle (-)^{\flat }} 은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", ( − ) ♯ {\displaystyle (-)^{\sharp }} 는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다.
참고 문헌 [ 편집 ] 같이 보기 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ]