3차원 직교군

3차원 직교군(三次元直交群, 영어: three-dimensional orthogonal group)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다.

3차원 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (3;\mathbb {R} )}$는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

• 3차원 특수직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )}$. 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은 ${\displaystyle \operatorname {O} (3;\mathbb {R} )}$의 부분군을 이룬다. 이 부분군을 ${\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )}$라고 한다.
• 2차원 사영 특수 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {PSU} (2)}$.
• 3차원 사영 특수직교군 ${\displaystyle \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )}$. 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

• 2차원 특수 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
• 3차원 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}$
• 1차원 심플렉틱 군 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)=\operatorname {USp} (2)\cong \{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}}$. 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.

다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)}$

즉, ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$는 3차원 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}$과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}-{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {i}{2}}(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }}\\{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-i(+\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }})\\\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta &i(-\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta )&\alpha {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\beta }}\end{pmatrix}}}$

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선, ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$는 2차원 구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ 위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$는 리만 구 ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

${\displaystyle \iota \colon \operatorname {SO} (3)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$

이 경우, ${\displaystyle \iota }$의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}}$

마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

${\displaystyle \iota '\colon \operatorname {PSU} (2)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \iota '\colon \pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto \left(z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}\right)}$

따라서, 이는 동형 ${\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)}$를 정의한다.

동형 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)}$은 다음과 같이 이해할 수 있다. ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}a+ib&-c+id\\c+id&a-ib\end{pmatrix}}}$

마찬가지로, 두 겹 피복군 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)}$는 다음과 같이 이해할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SO} (3)}$

${\displaystyle a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}1-2c^{2}-2d^{2}&2bc-2da&2bd+2ca\\2bc+2da&1-2b^{2}-2d^{2}&2cd-2ba\\2bd-2ca&2cd+2ba&1-2b^{2}-2c^{2}\end{pmatrix}}}$

이는 ${\displaystyle (b,c,d)}$를 축으로 하여, 각도 ${\displaystyle 2\theta }$만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도 ${\displaystyle \theta }$는 다음과 같다.

${\displaystyle \cos(\theta )=a}$

${\displaystyle |\sin(\theta )|=\|a+ib+jc+kd\|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$

즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계 ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,\chi )}$로 나타내었을 때, ${\displaystyle \theta }$는 극각에 해당한다.. 이 경우, 사원수 ${\displaystyle a+ib+jc+kd}$와 ${\displaystyle -a-ib-jc-kd}$가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 ${\displaystyle (t,x,y,z)}$를 사원수 ${\displaystyle v=t+ix+iy+iz}$로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 ${\displaystyle \operatorname {SO} (4)\cong (\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2)}$의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$의 원소를 단위 사원수 ${\displaystyle q_{1}}$, ${\displaystyle q_{2}}$로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.

${\displaystyle v\mapsto q_{1}vq_{2}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$에 대한 몫군을 취하는 것은 ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$와 ${\displaystyle (-q_{1},-q_{2})}$가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 작용에서, ${\displaystyle t}$축의 안정자군이다. ${\displaystyle t}$축이 고정될 조건은 ${\displaystyle q_{1}q_{2}=1}$인 것이며, 따라서 ${\displaystyle q_{1}=q_{2}^{-1}={\bar {q}}_{2}}$이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)/(\mathbb {Z} /2)}$의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle v\mapsto qv{\bar {q}}\qquad (q\in \mathbb {H} ,\;\|q\|=1)}$

여기서 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$에 대한 몫군을 취하는 것은 ${\displaystyle \pm q}$가 같은 작용을 갖기 때문이다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$의 기저는 파울리 행렬 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i}}$로 주어진다.

${\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i},{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{j}]=\epsilon _{ijk}{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{k}}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$의 기저는 무한소 3차원 회전 ${\displaystyle L_{i}}$로 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle L_{i}}$는 ${\displaystyle i}$번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\epsilon _{ijk}L^{k}}$

이 경우, 리 대수의 동형 ${\displaystyle \operatorname {su} (2)\cong \operatorname {so} (3)}$는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma ^{1}\mapsto L_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$의 중심은 ${\displaystyle \{\pm 1_{2\times 2}\}}$이며, 이에 대하여 몫군을 취하면 ${\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)}$를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$와 ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$는 위상수학적으로 3차원 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$이다. (초구에 리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {PSU} (2)}$는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}\cong \mathbb {S} ^{3}/(\mathbb {Z} /2)}$이다. 여기서 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.

${\displaystyle \operatorname {O} (3)}$는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원 ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$에 대하여, (동형 아래) 유일한 ${\displaystyle n}$차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약 ${\displaystyle n}$이 짝수인 경우, 이는 ${\displaystyle n}$차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서, ${\displaystyle n}$차원 표현은 스핀 ${\displaystyle (n-1)/2}$ 표현으로 일컬어진다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$의 유한 차원 표현들은 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$의 ${\displaystyle n}$차원 표현들 가운데, ${\displaystyle n}$이 홀수인 것들이다. 예를 들어, ${\displaystyle n=3}$인 경우는 ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Rotation matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Improper rotation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Trimble, Todd. “Notes on SU(2) reps” (영어). 
• 이철희. “3차원 공간의 회전과 SO(3)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “Spin(3)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “3차원 유한회전군의 분류”. 《수학노트》. 

• 클렙슈-고르단 계수
• 구면 조화 함수
• 오일러 각
• 스핀
• 2차원 실수 특수선형군
• 원군
• 로런츠 군