Arithmetica

Arithmetica est disciplina numerorum. Graeci enim numerum ἀριθμός dicebant; ἡ ἀριθμετική (sc. τέχνη) est ergo ars numerorum tractandorum. Quam artem scriptores saeculorum litterarum inter disciplinas mathematicas ideo primam esse voluerunt, quoniam ipsa ut sit nulla alia indiget disciplina. Musica autem, ac geometria et astronomia, quae sequuntur, ut sint atque subsistant istius egent auxilio. Arithmetica sublimior (vel theoria numerorum, pars algebrae) est theoria universalis rerum arithmeticarum.

In medicina malum facultatis calculationes arithmethicas perficiendi vel dyscalculia (in infantibus malum profectus, primaria) vel acalculia (initium demum post malum aliud, secundaria) nominatur.

Numeri disciplinam apud Graecos primum Pythagoram autumant conscripsisse, ac deinde a Nicomacho diffusius esse dispositam; quam apud Latinos primus Apuleius, deinde Boethius Latine verterunt, ut nobis dicit De etymologiarum libri III Isidori Hispalensis.

Diophantus quoque de rebus arithmeticis scripsit. Etiam Euclides, quamquam pluria de geometria scripsit, multa dixit de numeris integris et de arithmetica.

Medio Aevo, Leonardus Pisanus signa numerorum nunc usitata Europae introduxit, ut calculationes faciliores essent quam numeris Romanis utentes.

• Additio, ut 2 + 3 = 5
• Subtractio, operatio inversa additionis, ut 5 - 3 = 2
• Multiplicatio, ut 2 × 3 = 6
• Divisio, operatio inversa multiplicationis, ut 6/3 = 2
• Potentia, ut 2³ = 8
• Radicis extractio, operatio inversa potestatem faciendi, ut ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$

Tria principia has operationes regunt: additio et multiplicatio sunt commutativae; additio et multiplicatio sunt associativae; et multiplicatio super additionem se distribuit. Operatio est commutativa si ordo operandorum non refert: 2 + 3 = 3 + 2. Subtractio non est commutativa, quod 2 - 3 = -1, 3 - 2 = +1. Operatio est associativa si licet operandos quamvis disponere: 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5. Subtractio non est associativa: 5 - (3 - 2) = 5 - (1) = 4, sed (5 - 3) - 2 = (2) - 2 = 0. Distributio multiplicationis super additionem haec est: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Exempli gratia, 5 × 13 = 5 × (10 + 3) = (5 × 10) + (5 × 3) = 50 + 15 = 65.

Si plures operationes in eodem enuntiato mathematico sunt, eas fac imprimis quae inter parentheses sunt, tunc multiplicationes et divisiones, tunc additiones et subtractiones. Hoc est, 5 + 2 × 3 significat 5 + (2 × 3) = 5 + 6 = 30; si vis additionem facere ante multiplicationem, debes scribere (5 + 2) × 3, quod est 21.

In arithmetica sensu stricto de numeris integris modo tractatur, sed fractiones e divisione oriuntur, numeri irrationales ex extractione radicis. Integri sunt anellus; integri cum numeris rationalibus sunt corpus. Algebra "abstracta" dicta est pars mathematicae quae de structuris similibus numeris arithmeticae tractat.

In schola discipuli algorithmos operationum arithmeticarum discunt. Quod systemate numerico decimali utimur, necesse est tabulas additionis multiplicationisque modo usque ad 9 discere: regulae numeros maiores addere vel multiplicare permittunt.

Tabula additionis haec est:

Additio

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Et tabula multiplicationis:

Multiplicatio

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Ut duos numeros addas, lineam tabulae inveni ubi est primus numerus, et columnam ubi est alter. Cellula quae hac in linea, hac in columna est summam continet. Exempli gratia, 7 + 6 = 13. Similiter, productum duorum numerorum est in cellula commune lineae unius, columnae alterius: 7 × 6 = 42. Nihil refert quis numerus primus sit: 7 + 6 = 6 + 7, et 7 × 6 = 6 × 7 -- hoc est, tabulae symmetriam habent, quod operationes sunt commutativae.

Tabula summas numerorum usque ad 9 monstrat. Quid si debes duo numeros addere qui maiores quam 9 sunt? Adde figuras quae unitates repraesentant (in dextra parte numerorum), tunc figuras quae denos repraesentant, tunc centenos, et caetera usque ad sinistra parte.

Hoc est exemplum. 25 + 31 = ? Unitates: 5 + 1 = 6; pone ergo 6 in dextram summae partem. Deni: 2 + 3 = 5; pone 5 in proximam partem. Hae figurae denos numeros repraesentant: re vera, est 20 + 30, hoc est 50. Summa est ergo 56. Facilius est visu si numeros addendos in columnam scribes:

   25  + 31  ----    56 

Aliud exemplum: 25 + 91 = ? Scribe in columnam:

   25  + 91  ---- 

et adde unitates:

   25  + 91  ----     6 

Quod 2 + 9 = 11, summa numerorum denorum plures figuras habet quam addendi:

   25  + 91  ----   116 

Tertium exemplum: 25 + 27 = ?

   25  + 27  ---- 

Cum unitates addimus, 5 + 7 = 12, summa maior est quam 9: non possumus "12" in ultimam columnam mittere. Sed 12 = 10 + 2: 2 unitates et decem. Retinemus unitates in ultima columna et transferimus decem in proximam cum aliis quantitatibus denis:

   1    25  + 27  ----     2 

Nunc hos numeros adde: 1 + 2 + 2 = 5.

   25  + 27  ----    52 

Hoc est, 25 + 27 = (20 + 5) + (20 + 7)

= (20 + 20) + (5 + 7)

= (20 + 20) + 12

= (20 + 20) + (10 + 2)

= (20 + 20 + 10) + 2

= 50 + 2

= 52.

Subtractio inversa est additionis. Si vis subtrahere 13 - 7, quia scis 7 + 6 = 13, responsum est 6: 13 - 7 = 6. Ut numeros maiores subtrahas, algorithmo simile utere:

   86  - 14  ----    72 

Hoc est, unitates subtrahimus (6 - 4 = 2), tunc numeros denos (8 - 1 = 7).

Aliud exemplum: 86 - 19 = ?

   86  - 19  ---- 

Si subtrahimus 6 - 9, differentiam negativam habemus (hoc est, < 0), quae nequit esse figura in numero. Debemus aliter disponere minuendum: 86 = 80 + 6 = (70 + 10) + 6 = 70 + (10 + 6). Fingamus subtrahendum non esse 8 (laeva columna), 6 (dextera columna), sed 7 (laeva columna), 16 (dextera columna). Tunc possumus subtrahere:

   7 16  - 1  9  -------    6  7 

Hoc est, 86 - 19 = 67. Si decem mutuarimur (ut ita dicamus) a laeva columna, figuras idoneas habemus et possumus subtrahere. Num recte calculavimus? Quid est 67 + 19?

   67  + 19  ----    86 

Quia 67 + 19 = 86, 86 - 19 est igitur 67: subtractio et additio inversae sunt.

Si numerus maior a numero minore subtrahitur, differentia est numerus negativus. Exempli gratia, 5 - 7 = -2. Numeri negativi sunt minus quam zero. Subtractio dici potest additio numeri negativi: 3 - 2 idem est atque 3 + (-2). Et -2 numerus est ut 2 + (-2) = 0.

Algorithmus multiplicationis numerorum maiorum quam 9 similis est regula additionis: aliquando debemus figuras in proximam columnam transferre.

Exemplum primum: 143 × 2 = ?

  143   ×  2 ----- 

Necesse est omnes figuras primi numeri per omnes figuras alterius multiplicare. Quare? Quod 143 = 100 + 40 + 3, habemus 143 × 2 = (100 + 40 + 3) × 2 = (100 × 2) + (40 × 2) + (3 × 2) = 200 + 80 + 6 = 286. Scribe in columnas et multiplica a dextera ab laeva, ut addidimus:

  143      143      143  ×  2     ×  2     ×  2 -----    -----    -----     6       86      286 

Si alter factor plus quam unam figuram habet, multiplicamus per primam (quae unitates repraesentat), tunc per proximam:

  143 ×  21 ----- 

Multiplica 143 × 1:

  143 ×  21 -----   143 

Tunc debemus multiplicare 143 × 2, sed cave! Quod "2" est in secunda columna, 20 repraesentat. Cum 20 multiplicamus par 3 in primo factore, non 6 sed 60 habemus: debemus ergo 6 in secunda columna producti ponere:

  143 ×  21 -----   143  286 

Tunc 8 (2 × 4) ante 6 mittimus in eadem colona atque "4"; et 2 (2 × 1) in eadem colona atque "1" mittimus. Nunc figuras addimus ut productum finalem habeamus:

  143 ×  21 -----   143  286 -----  3003  

Hoc est, 143 × 21 = (100 + 40 + 3) × (20 + 1) = ((100 + 40 + 3) × 20) + ((100 + 40 + 3) × 1) = 2860 + 143 = 3003.

Quid accidit si productum duarum figurarum maius sit quam 9? Figuram ad proximam columnam transferimus:

  143 ×   3 -----     9 

143 × 3 = ? In dextera columna "9" habemus. Tunc 3 × 4 = 12 > 9. Sed quod 12 = 10 + 2, mittimus "2" hac in columna, et "1" transferimus ad proximam:

  1   143 ×   3 -----    23 

Nunc multiplicamus 3 × 1 (= 3), et addimus figuram translatam: (3 × 1) + 1 = 4

  143 ×   3 -----   429 

Hoc est, 143 × 3 = (100 + 40 + 3) × 3 = (100 × 3) + (40 × 3) + (3 × 3) = 300 + 120 + 9 = 300 + (100 + 20) + 9 = (300 + 100) + 20 + 9 = 429.

Aliud exemplum: 143 × 24 = ?

  143 ×  24 -----   572  286 -----  3432 

Potentia est multiplicatio repetita, si potestas est numerus integer. Toties basin (numerum datum) multiplica quoties dicit potestas: a^b = a × a × ... × a (ubi sunt b numeri). Exemplorum gratia, 3² = 3 × 3 = 9, 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. Si potestas est 2, habemus numerum quadratum et si est 3, numerum cubicum. Hoc est, n² est numerus punctorum in quadro cuius latera n puncta habent, ut vides in figura. Et n³ est numerus punctorum in cubo cuius latera n puncta habent.

Numeri qui eandem basin habent multiplicantur per additionem exponentes: n^a × n^b = n^{(a + b)}.

Si potestas est fractio, potentia est radicis extratio: ${\displaystyle n^{\frac {1}{2}}={\sqrt {n}},n^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{n}},}$ et caetera.

Si potestas est numerus irrationalis, analysis explicit quid significat: regula de exponentium additione semper valet.

Divisio est multiplicationis inversa. Quod 7 × 6 = 42, 42 ÷ 6 = 7 et 42 ÷ 7 = 6. Quomodo possumus numeros dividere maiores quam numeros in tabula multiplicationis?

Exemplum: 86 ÷ 2 = ?

Scribe hoc modo:

  ____ 2 | 86 

Tunc eamus ab laeva ad dexteram partem dividendi -- non ab dextra parte ut facimus cum addimus vel subtrahimus vel multiplicamus. Quotiens 2 metitur 8? Hoc est, quid est 8 ÷ 2? Est 4; scribimus ergo "4" supra "8."

    4   ____ 2 | 86 

Et quotiens 2 metitur 6? 3; scribimus "3" supra "6." Responsum ergo est 43. 86 ÷ 2 = 43, et scimus responsum rectum esse quod 43 × 2 = 86.

    43   ____ 2 | 86 

Aliud exemplum: 76 ÷ 2 = ?

  ____ 2 | 76 

Nunc 2 non exacte metitur 7. Quid est maximus numerus N, ut 2 × N < 7? Quod 2 × 3 = 6 et 2 × 4 = 8, N noster est 3; pone "3" supra "7."

    3   ____ 2 | 76 

Multiplica 2 × 3, productum pone sub "7," et subtrahe:

    3   ____ 2 | 76     6   ----     1 

Tunc transcribe proximam figuram dividendi (ut melius videas):

    3   ____ 2 | 76     6   ----     16 

Quotiens 2 metitur 16? 8, scilicet: pone ergo "8" supra 6 (figuram quam transcripsisti):

    38   ____ 2 | 76     6   ----     16 

Multiplica 2 × 8, productum pone sub "16," et subtrahe:

    38   ____ 2 | 76     6   ----     16     16   ----      0 

Quod nunc 0 habemus, finis est algorithmi et responsum est 76 ÷ 2 = 38. (Probatio: 38 × 2 = 76.)

Aliud exemplum: quid est 73 ÷ 5?

 ____ 5|73 

Primus digitus est 1, quod 5 × 1 = 5 < 7 et 5 × 2 = 10 > 7; pone figuram, multiplica, subtrahe, transcribe:

  1  ____ 5|73   5  ----   23 

Et proximus digitus est 4:

  14  ____ 5|73   5  ----   23   20  ----    3 

Restat 3, non 0, sed nullos digitos habemus ad transcribendos: quid nunc?

Quod residuus non est 0, scimus 5 non exacte dividit 73. Debemus fractionem facere: 73 = 5 × 14 + 3, aut 73 = 5 × (14 3/5). Possumus fractionem aliter exprimere si algorithmum pergimus. Semper licet cifras addere post separatorem decimalem, quod 73, 73.0, 73.00, et caetera omnes eundem numerem nominant. Adde ergo:

  14  ____ 5|73.0   5  ----   23   20  ----    3 

Nunc possumus hoc zero transcribere et proximum digitum invenire:

  14.6  ____ 5|73.0   5  ----   23   20  ----    30    30  ----     0 

Quod zero nunc restat, scimus 73 ÷ 5 = 14.6.

Si numerus alium dividit, dicitur factor huius numeri; exempli gratia, 3 est factor 6 numeri, quod 3 × 2 = 6. Algorithmus Euclidis factorem communem maximum duorum numerorum invenit.

Algorithmus radicum quadratarum extrahendarum similis est algorithmo divisionis: radicem per singulos digitos divines.

Exemplum: quid est √529?

Numerum scribe et digitos binos interpunge (a dextera parte ad laevam):

√5 29 

Ut in divisionis algorithmo, incipimus a laeva. Habemus numerum minus quam 100: quis est maximus integer minus quam radix quadrata huius numerus? In exemplo, primus numerus est 5. 2² = 4 < 5 < 3² = 9, ergo 2 est numerus: mitte "2" supra 5, et mitte 2² sub eundem numerum.

 2  ---- √5 29  4 

Subtrahe, ut in divisionis algorithmo, et proximum parem numerorum transcribe (non unum numerum ut in divisionem).

 2  ---- √5 29  4 -----  1 29 

Nunc debemus radicem divinare, non autem numeri "129" qui in ultima linea stat. Pars radicis est "2" (in summa linea). Sit P = "pars radicis" = 2. Sit U = "numerus in ultima linea" = 129. Sit D = "digitus quem nunc quaerimus." Regulus est ${\displaystyle D\times (20P+D)\leq U}$ et volumus maximum numerum D qui regulum satisfacit. In exemplo, P = 2, ergo 20P = 40; necesse est numero D ut D(40+D) ≤ 129.

• D = 1: 1(41) = 41 < 129 -- potest esse noster numerus, sed fortasse possumus maiorem invenire
• D = 2: 2(42) = 84 < 129 -- num est melior?
• D = 3: 3(43) = 129 -- Euge!

Numerum sic inventum supra parem numerorum mitte. Numerum D(40+D) sub ultimam lineam mitte, et subtrahe.

 2  3  ---- √5 29  4 -----  1 29  1 29 -----     0 

Quod zero restat, scimus √529 = 23.

Si autem differentia maior sit quam zero, proximum parem denuo transcribe; nunc habebis novam partem radicis P et novum numerum in ultima linea U, et debebis proximum digitum D eodem modo invenire.

Aliud exemplum: quid est √53975 ?

Numerum scribe et inter binos digitos interpunge:

√5 39 75  

Primum digitum divina: est 2. (Notandum est primam figuram eodem modo atque alias inveniri: P (pars radicis) = 0, et U (in ultima linea) est 5; quid est D ut D(20 × 0 + D) ≤ 5? Hoc est, D² ≤ 5, et D = 2. Pone "2" supra "5," pone 2² sub "5," et parem digitum transcribe:

 2  ------- √5 39 75  4 --------  1 39 

Ut iam fecimus, debemus D invenire: P = 2, U = 139, D(20P + D) ≤ U. Numerum D quaerimus ut D(40 + D) ≤ 139.

• D = 2: 2(42) = 84 < 139
• D = 3: 3(43) = 129 < 139
• D = 4: 4(44) = 176 > 139

D ergo est 3; pone "3" supra parem numerorum "39" et D(20P+D) = 129 infra ultimam lineam; subtrahe et proximum parem transcribe:

 2  3  ------- √5 39 75  4 --------  1 39  1 29 --------    10 75 

Nunc pars radicis P = 23, ultima linea habet U = 1075, et D quaerimus ut D(20 × 23 + D) ≤ 1075, hoc est ut D(460 + D) ≤ 1075. Quod 460 × 2 = 920, numerus proximus 1075, videamus si D potest esse 2:

• D = 2: 2(462) = 924 < 1075
• D = 3: 3(463) = 1389 > 1075

Ita: D = 2. Scribe novum numerum D supra parem, et D(20P + D) = 924 infra ultimam lineam, et subtrahe:

 2  3  2  ------- √5 39 75  4 --------  1 39  1 29 --------    10 75     9 24 --------     1 51 

Nunc scimus √53975 > 232, sed possumus fractionem decimalem invenire si algorithmum pergimus:

 2  3  2  ----------- √5 39 75 .00  4 ------------  1 39  1 29 ------------    10 75     9 24 ------------     1 51  00 

P = 232, U = 15100, D(20P + D) ≤ 15100, hoc est D(4640 + D) ≤ 15100.

• D = 3: 3(4643) = 13929 < U
• D = 4: 4(4644) = 18576 > U

D est 3: √53975 > 232.3

 2  3  2   3  ----------- √5 39 75 .00  4 ------------  1 39  1 29 ------------    10 75     9 24 ------------     1 51  00     1 39  29 ------------       11  71 

Plures figuras, scilicet, eodem modo inveniuntur. Quod 232.3² = 232.3 × 232.3 = 53963.29, responsum habemus fere correctum, etiamsi non exactum.

An rogas quid sit explanatio algorithmi? Haec est: Numerum cuius radicem quaerimus per quadratas decem potestates scripsimus, ut 53975 = 5 × 10⁴ + 39 × 10² + 75. Primus radicis digitus est maximus numerus cuius quadratus minor est quam prima pars numeri dati; quod illa pars minor est 100, radix minor est 10 et est unus tantum digitus. Hoc est, √53975 est circa √(5 × 10⁴) qui numerus minor est quam √(4 × 10⁴) = 200. Hactenus nulla est difficultas. Post subtractionem, scimus √53975 - √40000 = 13975, vel 1 × 10⁴ + 39 × 10² + 75, vel fere 1 × 10⁴ + 39 × 10². Quid tunc de sequentibus radicis digitis?

Sit Q = quantitas cuius radicem volumus, et sit P = pars radicis quam iam scimus, ut supra. Sit X = exponens vel potestas 10 quae ad P quantitatem pertinet: 0 si P unitatem repraesentat, hoc est si P est ultimus digitus partis integri. In exemplo nostro, nunc P = 2 et X = 2, quod re vera radix non est 2 sed 200. Sit U = numerus in ultima linea, ut supra. Primus valor illius U est ${\displaystyle U=Q-P^{2}\times 10^{2X}}$, sed neglegimus ultimos digitos, ut ${\displaystyle U=(Q-P^{2}\times 10^{2X}) \over 10^{X}}$.

Proximus digitus D, ut diximus, est maximus numerus ut D × (20P + D) non maior est quam U. Hoc est, nova pars radicis erit 10P + D. Scimus (10P + D)² = 100P² + 20PD + D²: hoc productum ergo debet proximum esse quantitati Q. Possumus etiam scribere (10P + D)² = 100P² + D(20P + D). Iam habemus 100P² in priore parte computationis; necesse est addere modo D(20P + D), id quod facimus.

Cum ad proximum digitum pergimus, novam partem radicis P et numerum in ultima linea U habemus, ut supra; novus valor X est prior X - 1. Si cifras post separatorem decimalem addimus, exponens X potest negativus esse.

Si omnes numeros D(20P + D) addes, par potestates 10^2X multiplicatos, quadratum habebis radicis: 40000 + 12900 + 924 + 139.29 = 53963.29 = 232.3².

Possumus addere, subtrahere, multiplicare, dividere fractiones. Fractio est numerus rationalis, hoc est proportio, vel numerus per rationem calculatus. Scribimus ${\displaystyle a \over b}$ (aut a/b), quod significat "quantitas a per quantitatem b divisa"; idem est atque a ÷ b. Numerus superior numerator dicitur et numerus inferior est denominator, qui non licet 0 esse, quod impossible est per 0 dividere. Possumus etiam dicere 1/b = ille numerus N, ut b × N = 1 -- hoc est, b × (1/b) = 1.

Si a/b est fractio, et si et a et b per eundem numerum c multiplicamus (non, autem, per 0!), nova fractio ac/bc = a/b. Sit N = a/b; tunc Nb = a (haec est definitio fractionis). Licet ambo latera per eundem multiplicare: Nbc = ac. Et licet ambo latera per eundem dividere: Nbc ÷ bc = ac ÷ bc, hoc est N = ac/bc, ut diximus. Similiter, si a/b est fractio, et si divisimus et a et b per eundem numerum (non per 0), nova fractio aequa est a/b. Fractio est reducta si numerator et denominator nullum factorem communem habent.

Exempli gratia, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10. 1/2 est reducta, aliae non sunt. 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12. 2/5 = 4/10 = 6/15 = 8/20.

Si numerator maior est quam denominator, valor fractionis maior est quam 1; si numerator aequat denominatori, fractio est 1. Hoc est, 2/2 = 1, vel 9/9 = 1. Et 3/2 > 1: 3/2 = 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1 + 1/2.

Ut fractiones addas vel subtrahas, si eosdem denominatores habent, adde (vel subtrahe) numeratores. Si eosdem denominatores non habent, debes eis dare antequam licet numeratores addere. Exemplum: 1/3 + 1/3 = 2/3. Si eosdem denominatores non habent, multiplica numeratorem et denominatorem alterius fractionis per alterius denominatorem:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}=?}$

${\displaystyle {\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}}$

Aliud exemplum:

${\displaystyle {\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}=?}$

${\displaystyle {\frac {3\times 5}{7\times 5}}+{\frac {2\times 7}{5\times 7}}={\frac {15}{35}}+{\frac {14}{35}}={\frac {29}{35}}}$

Aliud exemplum:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}=?}$

${\displaystyle {\frac {1\times 9}{6\times 9}}+{\frac {1\times 6}{9\times 6}}={\frac {9}{54}}+{\frac {6}{54}}={\frac {15}{54}}}$

et fractio reducta est ${\displaystyle {\frac {5}{18}}}$.

Quare? Sit S = summa fractionum, ut a/b + c/d = S. Tunc licet omnia per b multiplicare: a + bc/d = bS. Et per d quoque: ad + bc = bdS. Nunc fractiones non sunt: possumus multiplicare et addere. Quid autem est illud S? Si per bd divisimus, S solum habebimus: ${\displaystyle {\frac {ad+bc}{bd}}=S}$ -- et hoc est quod iam fecimus.

Si autem denominatores sunt magni, vel si plures fractiones habes, haec calculatio difficilior est. Melius est minimum denominatorem invenire, qui est minimus communis dividuus omnium denominatorum.^[1] Exemplum:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}=?}$

Quod 6 = 3 × 2 et 9 = 3 × 3, minimus communis dividuus est 3 × 2 × 3 = 18.

${\displaystyle {\frac {1\times 3}{6\times 3}}+{\frac {1\times 2}{9\times 2}}={\frac {3}{18}}+{\frac {2}{18}}={\frac {5}{18}}}$

Cum multiplicas, et numeratores et denominatores multiplica. Hoc est,

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\times c}{b\times d}}}$

Exempla:

${\displaystyle {\frac {3}{7}}\times {\frac {2}{5}}=?}$

${\displaystyle ={\frac {3\times 2}{7\times 5}}={\frac {6}{35}}}$

Et:

${\displaystyle {\frac {2}{7}}\times {\frac {3}{4}}=?}$

${\displaystyle ={\frac {2\times 3}{7\times 4}}={\frac {6}{28}}={\frac {3}{14}}}$

Quare? Velimus multiplicare a/b × c/d, hoc est, (a ÷ b) × (c ÷ d). Sed divisio et multiplicatio sunt inversae: hoc est, dividere par b idem est atque multiplicare par 1/b. Habemus ergo (a ÷ b) × (c ÷ d) = (a × (1/b)) × (c × (1/d)) = a × c × (1/b) × (1/d) = a × c × (1/(b × d)) = (a × c)/(b × d)

Ut dividas, multiplica per fractionem inversam. Hoc est,

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {a\times d}{b\times c}}}$

Exempla:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\div {\frac {3}{5}}=?}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\times {\frac {5}{3}}={\frac {5}{6}}}$

Aut:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\div {\frac {2}{5}}=?}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}\times {\frac {5}{2}}={\frac {10}{6}}={\frac {5}{3}}}$

Quare? Scimus N × 1/N semper est 1 (nisi N sit 0). Pone N = 1/M -- tunc 1/M × 1/(1/M) = 1. Sed M × 1/M = 1 (quod semper verum est, nisi M sit 0); hoc est, 1/M × 1/(1/M) = M × 1/M, vel 1/(1/M) = M. Nunc velimus scire quid sit ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}}$:

est ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {1}{\frac {c}{d}}}}$,

hoc est ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}}$

Numeri rationales scribuntur vel per fractiones vel per decimales. Exempli gratia, 1/5 = 0.2. Ut fractionem in decimalem formam convertas, modo divide: 1/5 = 1 ÷ 5

   .2   ---- 5|1.0   1 0  -----     0 

Si denominator nullos factores habet nisi 5 et 2 (fortasse plus quam semel), divisio finiet et numerus decimalis quantitatem finitem digitorum habebit. Si alios factores habet, divisio numquam finiet, sed periodum habebit. Exempli gratia, 1/3 = 0.333... usque ad infinitatem.

   .33   ------- 3|1.00000     9   -------     10      9   -------      10   etc. 

Ut videtur, semper erit alia figura "3."

Omnis numerus rationalis est numerus decimalis vel finitus vel periodicus. Re vera, decimales finiti quoque periodici sunt: 0.2 = 0.200000... (et 0.2 = 0.1999999.....). Et omnis decimalis periodicus est numerus rationalis. Quare? Sit decimalis D = 0.abcabcabc..., ubi "abc" sunt figurae quae identidem apparent. Tunc:

${\displaystyle 1000\times D=abc.abcabcabc....}$

${\displaystyle D=0.abcabcabc...}$ Subtrahe:

${\displaystyle 999\times D=abc}$, hoc est ${\displaystyle D={\frac {abc}{999}}}$, qui est numerus rationalis.

(Multiplicavimus per 1000 = 10³ quod 3 figurae sunt in periodo; si plus vel minus insunt, aliam potestam eligere debemus.)

Exemplum: Quid est 0.142857142857...? Nunc periodus 6 figuras habet.

${\displaystyle 1000000\times D=142857.142857142857....}$

${\displaystyle D=0.142857142857....}$

${\displaystyle 999999\times D=142857}$, ergo ${\displaystyle D={\frac {142857}{999999}}}$, et fractio reducta est 1/7.

Postquam operationem arithmeticam quendam fecistis, vis scire utrum recte calculaveris annon: hoc est, vis operationem probare.

Simplicissima probatio est operatio inversa. Si addistis, subtrahe; si subtraxistis, adde; et similiter. Exempli gratia, quid est 25 + 31? Ut supra calculavimus, 25 + 31 = 56. Possumus probare: 56 - 31 = 25, et 56 - 25 = 31.

Aliud exemplum: 143 × 21 = 3003. Probatio: 3003 ÷ 21 = 143, et 3003 ÷ 143 = 21.

Alia probatio est probatio per novem, hoc est probatio per congruentiam secundum modulum 9. Haec est regula: Numeros, qui in problemate sunt (et operandos et responsum), reduc secundum modulum 9; tunc eandem operationem fac. Si responsum non idem est atque responsum reductum, errorem fecistis.

Quomodo "reducere secundum modulum 9"? Figuras adde; si summa est maior quam 9, iterum adde quoad summa minor sit. Exempli gratia, numerus 123, secundum modulum 9, est 1 + 2 + 3 = 6. Numerus 347, secundum modulum 9, est 3 + 4 + 7 = 14, sed 15 > 9: iterum adde: 1 + 5 = 6. 347, secundum modulum 9, est ergo 6.

Hoc est exemplum probationis per novem. Estne 25 + 31 re vera = 56?

numeri   secundum modulum 9   25             7   31             4  ---           ---   56             2 

Quod 7 + 4 = 11 (hoc est 2 secundum modulum 9), et 56, secundum modulum 9, est 2, calculatio probata est. Si errorem fecimus, quid tunc?

numeri   secundum modulum 9   25             7   31             4  ---           ---   58             4 !! 

Nunc "responsum" 58 est 4 secundum modulum 9, sed summa 7 + 4 = 11 est 2 secundum modulum 9. Quod 4 ≠ 2, scimus calculationem non recte factam.

Quaelibet operatio inter numeros integros hoc modo probatur. Exempli gratia, estne 143 × 24 = 3482? Secundum modulum 9, 143 est 8 et 24 est 6; 8 × 6 = 48, hoc est 4 + 8 = 12, hoc est 1 + 2 = 3 secundum modulum 9. Responsum quoque debet esse 3 secundum modulum 9. Sed 3482 est 3 + 4 + 8 + 2 = 17, hoc est 1 + 7 = 8 secundum modulum 9. Quod 3 ≠ 8, errorem aliquem fecimus.

Probatio per novem autem non omnes errores invenire potest. Estne 143 × 24 = 3342? Nunc responsum est 3 + 3 + 4 + 2 = 12, hoc est 3 secundum modulum 9, ut debet esse. Sed supra calculavimus 143 × 24 = 3432. Figurae traiectae sunt, sed summa figurarum eadem est: probatio per novem ergo errorem non invenit.

Est etiam probatio per undecim: numeros reduc secundum modulum 11, operationem fac, et vide utrum responsum idem sit. Ad secundum modulum 11 reduceas, incipe a dextera numeri parte; adde et subtrahe invicem usque ad laevam partem; si summa > 11 sit, idem iterum fac. Exempli gratia, quid est 79, secundum modulum 11? Primam figuram adde: 9. Proximam subtrahe: 9 - 7 = 2. 79 est 2 secundum modulum 11. Aliud exemplum: 3124, secundum modulum 11: adde (4), subtrahe (4 - 2 = 2), adde (2 + 1 = 3), subtrahe (3 - 3 = 0): 3124, secundum modulum 11, est 0.

Nunc, estne 143 × 24 = 3342? Secundum modulum 11, 143 est 3 - 4 + 1 = 0, et 24 = 4 - 2 = 2; 0 × 2 = 0. Et 3342, secundum modulum 11, est 2 - 4 + 3 - 3 = -2. Quod -2 ≠ 0, errorem invenimus, quem non invenimus probatione per novem utentes.

Licet probare secundum quemlibet modulum; 9 et 11 facillimi sunt, quia possumus numeros secundum hos modulos faciliter reducere.

Summa figurarum numeri est residuum numeri secundum modulum 9. Quare? Numerus integer quidem, systemate numerico decimali scriptus, est ...f₂f₁f₀, et omnis figura f_i numerum f × 10ⁱ repraesantat. Exempli gratia, si numerus est 4165, f₃ = 4, f₂ = 1, f₁ = 6, f₀ = 5. Numerus est ergo 4 × 10³ + 1 × 10² + 6 × 10¹ + 5 × 10⁰.

Sed omnis potestas 10 -- omnis numerus 10ⁱ -- est 1 + 99...9 (ubi i figurae 9 sunt); hoc est, 9 dividit 10ⁱ - 1. Possumus ergo scribere:

...f₂f₁f₀ = ... + f₂(1 + 99) + f₁(1 + 9) + f₀(1 + 0)

= (... + f₂ + f₁ + f₀) × 1 + (... + f₂ + f₁) × 9 × (X)

Si hunc numerum per 9 divisimus, residuum est prima pars, (... + f₂ + f₁ + f₀) × 1, quod 9 dividitur alteram partem. Hoc est, summa figurarum est residuum numeri secundum modulum 9, quod erat demonstrandum.

Exempli gratia, 4165 = 4 × (1 + 999) + 1 × (1 + 99) + 6 × (1 + 9) + 5, vel (4 + 1 + 6 + 5) + (4 × 999 + 1 × 99 + 6 × 9), vel (4 + 1 + 6 + 5) + 9 × (4 × 111 + 1 × 11 + 6).

Et quid de modulo 11? Vide:

10 = 11 - 1

100 = 99 + 1 = 11 × 9 + 1

1000 = 1001 - 1 = 11 × 91 - 1

10000 = 9999 + 1 = 11 × 909 + 1

100000 = 10001 - 1 = 11 × 9091 - 1

...

Si numerus est 10²ⁱ, est 11 × X + 1: residuum huius numeri, secundum modulum 11, est 1. Si numerus est 10^{2i + 1}, est 11 × X - 1, et residuum secundum modulum 11 est -1. Possumus ergo scribere:

...f₃f₂f₁f₀ = ... + f₃(1001 - 1) + f₂(99 + 1) + f₁(11 - 1) + f₀(1)

= (... - f₃ + f₂ - f₁ + f₀) × 11X + (... - f₃ + f₂ - f₁ + f₀)

Ut videtur, si hunc numerum per 11 divisimus, prima pars evanescit et residuum est altera pars, (... - f₃ + f₂ - f₁ + f₀).

Gauss has regulas ad explorandem divisibilitatem numeri propositi per 9 et 11 dat in libro de Disquisitionibus Arithmeticis, sectione prima.^[2]

Primum auxilium calculandi digiti erant. Postea abacus invenitur, et in Europa et in Asia. Tunc regula remissaria multiplicationem facilius fecit. Hodie computatrum arti arithmeticae aliisque artibus mathematicis servat.

• Berlingoff, William P., et Fernando Q. Gouvêa. 2003 Math Through the Ages, editio altera. Novi Eboraci: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-736-6.
• Courant, Richard, et Herbert Robbins. 1941 What Is Mathematics? Oxonii: Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2 (editio altera).
• Cuomo, S. 2001. Ancient Mathematics. Novi Eboraci: Routledge. ISBN 978-0-415-16495-5.
• Gauss, Carl Friederich. 1801. Disquisitiones Arithmeticae. Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.
• Kasner, Edward, et James R. Newman. 1940 Mathematics and the Imagination. Novi Eboraci: Simon and Schuster. ISBN 0-486-41703-4.
• Kidwell, Peggy Aldrich. 2008. Tools of American Mathematics Teaching, 1800-2000. Baltimorae: Johns Hopkins University Press. ISBN 9780801888144.
• Reid, Constance. 2006. From Zero to Infinity: What Makes Numbers Interesting, editio quinta. Wellesley: A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-273-1.

• Algebra elementaris
• Fractio (mathmatica)
• Theorema fundamentale arithmeticae

• Regulae super abacum ab Odone MDCCLXXXIV de divisio mathematica
• P. Gasparis Schotti (1663). Arithmetica practica generalis et specialis, Francofurtum.