Geïndexeerde familie

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is een geïndexeerde familie van elementen van een verzameling ${\displaystyle X}$ een deelverzameling ${\displaystyle Y\subset X}$ , in combinatie met een surjectieve afbeelding ${\displaystyle f:J\to Y}$. De verzameling ${\displaystyle J}$ wordt de indexverzameling van de familie genoemd.

Het beeld ${\displaystyle f(j)}$ van ${\displaystyle j\in J}$ wordt aangeduid door ${\displaystyle x_{j}}$ en de geïndexeerde familie door ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j\in J}}$ of gewoon door ${\displaystyle (x_{j})}$.

Een ordening van ${\displaystyle J}$ induceert een ordening van de familie. Het hangt af van de toepassing of de indexering beperkt is tot injectieve functies ${\displaystyle f}$, of dat elementen dubbel mogen voorkomen. Een toepassing met injectieve ${\displaystyle f}$ is onder meer een geordende basis. Toepassingen met niet noodzakelijk injectieve ${\displaystyle f}$ zijn onder meer tupels, waaronder ook de bij een basis behorende kentallen van een vector en rijen.

Als de verzameling ${\displaystyle X}$ de machtsverzameling van een verzameling ${\displaystyle U}$ is, dan noemt men de familie ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j\in J}}$ een familie van verzamelingen geïndexeerd door ${\displaystyle J}$.