Golomb-liniaal

Een golomb-liniaal is in de wiskunde een rij natuurlijke getallen die zo is samengesteld dat geen twee paren getallen uit de rij hetzelfde verschil hebben. Het aantal getallen heet de orde van de liniaal en het grootste voorkomende verschil de lengte. Qua concept lijkt dit op een liniaal die zo is gemaakt dat geen tweetal strepen dezelfde afstand heeft als een ander paar. De golomb-liniaal is naar de Amerikaanse hoogleraar Solomon genoemd in de wiskunde en elektrotechniek aan de University of Southern California.

De getallen op een golomb-liniaal vormen een sidonverzameling. Een sidonverzameling is een verzameling van natuurlijke getallen, waarvan iedere verschil tussen twee verschillende elementen uniek is of waarvan iedere som van twee elementen uniek is. De getallen mogen bij het optellen twee keer worden genomen, dus de som van een getal met zichzelf. De Hongaarse wiskundige Simon Sidon rekende al eerder met sidonverzamelingen dan dat er golomb-linialen waren. Hij gebruikte ze in 1932 bij het bestuderen van fourierreeksen.^[1]

Verschuiven en spiegelen van een golomb-liniaal geven eigenlijk dezelfde liniaal, zodat als kleinste getal meestal 0 wordt gekozen en als eerstvolgende het kleinste van de twee verschillen aan de uiteinden van de rij, aan het begin en aan het einde.

Een golomb-liniaal met alle verschillen tot aan de lengte van de rij heet perfect. Zo een liniaal met ${\displaystyle n}$ markeringen is ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$ eenheden lang en er komen de verschillen van 1 tot en met ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$ op voor. Er bestaan geen perfecte golomb-linialen voor ${\displaystyle n}$ groter dan 4.

Een golomb-liniaal heet optimaal als er geen kortere golomb-liniaal is van dezelfde orde. De lengte van een optimale golomb-liniaal met ${\displaystyle n}$ getallen, voor ${\displaystyle n=2,3,4,\ldots }$ is: ${\displaystyle 1,3,6,11,17,25,34,\ldots }$^[2]

Golomb-linialen zijn eenvoudig te maken, maar het vinden van de optimale linialen van een bepaalde orde is lastig en rekentechnisch tijdrovend. Het vinden van de optimale golomb-liniaal wordt exponentieel moeilijker naarmate het aantal getallen er op toeneemt. Er is geen manier of algoritme bekend voor het maximale aantal getallen op een golomb-liniaal van gegeven lengte of wat de kortst mogelijke golomb-liniaal is met een gegeven aantal getallen. Het berekenen van optimale golomb-linialen met veel getallen kan met behulp van parallel rekenen worden gedaan. Dat is in 2022 gedaan om de lijst met 28 getallen compleet te maken, dat ging met distributed computing.^[3]

Methoden om golomb-linialen te construeren zijn besproken in een artikel van Konstantinos Drakakis.^[4]

Optimale golomb-linialen kunnen bij het plaatsen van sensoren bij röntgenkristallografie en voor het plaatsen van antennes in de radioastronomie gebruikt.

De onderstaande tabel bevat alle tot nu toe bekende optimale golomb-linialen.