Kwadraatafsplitsen

Kwadraatsplitsen is het herschrijven van een tweedegraadspolynoom die gegeven is in de vorm

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

tot de vorm

${\displaystyle f(x)=a(x+r)^{2}+s}$

met

${\displaystyle r={\frac {b}{2a}}}$ en ${\displaystyle s=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}$

De methode van kwadraatafsplitsen wordt onder meer gebruikt bij

• het oplossen van een tweedegraadsvergelijking
• het tekenen van de grafiek van een kwadratische functie
• het integreren van een functie met behulp van een lineaire transformatie van de integratievariabele

Voorbeeld 1

Los de volgende tweedegraadsvergelijking op:

${\displaystyle x^{2}+6x+5=0}$

Splits een kwadraat af

${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0}$

of anders geschreven:

${\displaystyle (x+3)^{2}=4,}$

met als oplossingen:

${\displaystyle x+3=\pm 2}$

dus

${\displaystyle x=-5}$ of ${\displaystyle x=-1.}$

Voorbeeld 2

Bepaal de integraal:

${\displaystyle I=\int {\frac {{\rm {d}}x}{x^{2}+2px+q}}}$

Splits in de noemer een kwadraat af:

${\displaystyle I=\int {\frac {{\rm {d}}x}{(x+p)^{2}+q-p^{2}}}}$

Substitueer ${\displaystyle y=x+p}$, dus ${\displaystyle x=y-p}$ en ${\displaystyle {\rm {d}}x={\rm {d}}y}$, en noem voor het gemak ${\displaystyle a=q-p^{2}}$. Dan wordt

${\displaystyle I=\int {\frac {{\rm {d}}y}{y^{2}+a}}}$,

waardoor de integraal is teruggebracht tot een standaardintegraal met een bekende oplossing.