Methode van Jacobi
In de numerieke wiskunde is de methode van Jacobi, genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi, een algoritme om iteratief een benaderde oplossing te vinden voor een stelsel van lineaire vergelijkingen. De methode van Jacobi is net als de Gauss-Seidel methode en de SOR-methode een speciale splitsingsmethode. De methode werd ontwikkeld, omdat Gauss-eliminatie weliswaar een exacte oplossing geeft, maar erg gevoelig is voor rekenfouten. Een iteratieve benadering heeft hier minder last van.
Methode[bewerken | brontekst bewerken]
Bij de methode van Jacobi wordt de matrix van het stelsel lineaire vergelijkingen
gesplitst in de hoofddiagonaal en de rest:
De vergelijking kan dan geschreven worden als:
of, mits inverteerbaar is, als
De iteratieve benadering van de oplossing verloopt via:
Uitgeschreven in de elementen van de matrices en de vectoren betekent dit voor het stelsel van lineaire vergelijkingen met onbekenden
dat het -de element van de -ste iteratie berekend wordt, uitgaande van een willekeurige startwaarde , als:
Een minimale voorwaarde is dat de diagonaalelementen ongelijk zijn aan 0. Voor de convergentie van de methode van Jacobi is strikte diagonale dominantie van de matrix voldoende.
Referenties[bewerken | brontekst bewerken]
- (de) A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme (Numerieke oplossingen voor stelsels van lineaire vergelijkingen), 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357
- (en) R. Barrett et al.: Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods (Templates voor de oplossing van lineaire systemen; bouwblokken voor iteratieve methoden, 2nd Edition, SIAM Philadelphia, 1994
Externe links[bewerken | brontekst bewerken]
- (en) Eric W. Weisstein et al. "Methode van Jacobi" MathWorld
- (de) Jacobi und Gauss-Seidel-Verfahren verstaendlich erklaert, inklusive Matlab Programme (Totale en enkelvoudige methoden van Jacobi en Gauss-Seidel voor N = 3 (pdf) Methode van Jacobi en methode van Gauss-Seidel begrijpelijk uitgelegd, met inbegrip van Matlab-programma's)