Poolcoördinaten

In de wiskunde zijn de poolcoördinaten ${\displaystyle (r,\theta )}$ van een punt in een vlak de coördinaten waarmee de plaats van dat punt wordt vastgelegd ten opzichte van een vast punt O, de pool, en een halfrechte door dit punt, de poolas. Oftewel het is een 2D-coördinatensysteem, met als argumenten de afstand tot een poolpunt en hoek tot een pool-as.

De coördinaat ${\displaystyle r}$, de straal, van een punt P is de afstand OP tot de pool, en de tweede coördinaat ${\displaystyle \theta }$, het argument, is de georiënteerde hoek tussen de halfrechte van O door P en de poolas. Uit deze definitie blijkt dat het argument van een punt P niet eenduidig bepaald is. Met het argument ${\displaystyle \theta }$ in radialen, zijn ook alle hoeken ${\displaystyle \theta +2k\pi }$ voor gehele ${\displaystyle k}$ argument van P. In specifieke toepassingen wordt het bereik van ${\displaystyle \theta }$ daarom wel beperkt tot bijvoorbeeld ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ of ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$. Voor de pool zelf is ${\displaystyle r=0}$ en ${\displaystyle \theta }$ onbepaald.

Het verband tussen de cartesische coördinaten ${\displaystyle (x,y)}$ en de poolcoördinaten ${\displaystyle (r,\theta )}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle x=r\,\cos(\theta )}$

${\displaystyle y=r\,\sin(\theta )}$

Omgekeerd geldt:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

Hierin is gebruikgemaakt van de uitgebreidere definitie van de arctangens:

${\displaystyle \arctan(y,x)=-i\log \left({\frac {x+iy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}$

Met behulp van de gewone arctangens kan men de hoek ${\displaystyle \theta }$ als volgt in het interval ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ bepalen:

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{voor}}\ x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,\ y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,\ y<0\\+{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y>0\\-{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y<0\\\end{cases}}}$

Nemen we als voorbeeld in de tweedimensionale ruimte het punt met gewone coördinaten:

${\displaystyle x=3,y=2.}$

Dit punt heeft als poolcoördinaten:

${\displaystyle r={\sqrt {3^{2}+2^{2}}}={\sqrt {13}}}$ en ${\displaystyle \theta =\arctan \left({\tfrac {2}{3}}\right)}$.

De jacobi-matrix van de bovengenoemde overgang van cartesische naar poolcoördinaten wordt bepaald door:

${\displaystyle {\rm {d}}x=\cos(\theta )\,{\rm {d}}r-r\sin(\theta )\,{\rm {d}}\theta }$

${\displaystyle {\rm {d}}y=\sin(\theta )\,{\rm {d}}r+r\cos(\theta )\,{\rm {d}}\theta }$

In matrixnotatie wordt dit:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\rm {d}}x\\{\rm {d}}y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-r\sin(\theta )\\\sin(\theta )&r\cos(\theta )\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\rm {d}}r\\{\rm {d}}\theta \\\end{bmatrix}}}$

Voor de booglengte geldt

${\displaystyle ({\rm {d}}s)^{2}=({\rm {d}}r)^{2}+r^{2}({\rm {d}}\theta )^{2}}$

Als men een integraal in het ${\displaystyle xy}$-vlak moet omzetten naar poolcoördinaten ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle \theta }$, wordt het verband tussen de oppervlakte-elementjes ${\displaystyle {\rm {d}}x{\rm {d}}y}$ en ${\displaystyle {\rm {d}}r{\rm {d}}\theta }$ gegeven door

${\displaystyle {\rm {d}}x{\rm {d}}y=r{\rm {d}}r{\rm {d}}\theta =\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\right|{\rm {d}}r{\rm {d}}\theta }$

De determinant in deze betrekking is de jacobiaan van de coördinatentransformatie:

${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\right|={\begin{vmatrix}\cos(\theta )&-r\,\sin(\theta )\\\sin(\theta )&r\,\cos(\theta )\end{vmatrix}}=r}$

Het is gebruikelijk een vectorveld

${\displaystyle F(x,y)=(F_{x}(x,y),F_{y}(x,y))\,}$

in poolcoördinaten te ontbinden in een component ${\displaystyle F_{r}}$ langs de poolstraal en een component ${\displaystyle F_{\theta }}$ loodrecht daarop in de richting van de hoek θ. Voor deze componenten geldt:

${\displaystyle F_{r}=\ F_{x}\cos(\theta )+F_{y}\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle F_{\theta }=-F_{x}\sin(\theta )+F_{y}\cos(\theta )\,}$

Omgekeerd:

${\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin(\theta )+F_{\theta }\cos(\theta )\,}$

Poolcoördinaten kunnen ook worden gebruikt om complexe getallen weer te geven in het complexe vlak. Het complexe getal ${\displaystyle z}$ kan cartesisch worden weergeven als: ${\displaystyle z=x+iy}$ waarin ${\displaystyle x}$ het reële deel is en ${\displaystyle y}$ het imaginaire deel.

Met poolcoördinaten kan ${\displaystyle z}$ geschreven worden als ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ waarin ${\displaystyle r}$ de modulus van ${\displaystyle z}$ is en ${\displaystyle \theta }$ het argument (in radialen) is.

Voor ${\displaystyle r=1}$ en ${\displaystyle \theta =\pi }$ is ${\displaystyle x=-1}$ en ${\displaystyle y=0}$, en ontstaat de Identiteit van Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Een poolvergelijking is de uitdrukking van een wiskundig verband tussen de variabelen ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle \theta .}$ Dit verband wordt meestal uitgedrukt in de vorm ${\displaystyle r=f(\theta )}$ of impliciet als ${\displaystyle F(r,\theta )=0.}$ Daarin wordt de hoek ${\displaystyle \theta }$ altijd uitgedrukt in radialen. Bij een gekozen stelsel poolcoördinaten vormen de oplossingen van een dergelijke vergelijking de grafiek van de poolvergelijking. Eenzelfde grafiek kan bij verschillende poolvergelijkingen horen.

In een poolvergelijking van de vorm ${\displaystyle r=f(\theta )}$ mag de hoek ${\displaystyle \theta }$ in principe alle reële getallen doorlopen.

Onder de richting van een kromme K in een punt ${\displaystyle \mathrm {P} =(r_{P},\theta _{P})}$ verschillend van de pool wordt de richting van de raaklijn in P aan K verstaan, georiënteerd in de zin van toenemende waarden van ${\displaystyle \theta .}$ 'De richting kan bepaald worden uit de hoek ${\displaystyle \alpha }$ tussen de raaklijn in P en de voerstraal OP (zie figuur). Voor deze hoek geldt:

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\theta }}\ln(r)={\frac {1}{r}}{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\theta }}}$

Voor bijvoorbeeld de logaritmische spiraal is ${\displaystyle \alpha }$ constant.

In sommige gevallen kan het nuttig dat de voerstraal ${\displaystyle r}$ ook negatieve waarden kan aannemen. Om dit mogelijk te maken kan men uitgaan van een licht gewijzigde definitie van het poolcoördinatenstelsel.

Het referentiekader bestaat dan uit een vast punt O, de pool en een as door dit punt, de poolas. Om de poolcoördinaten van een punt P vast te leggen kiest men een as ${\displaystyle u}$ door OP. De abscis ${\displaystyle r}$ van het punt P op die as (met oorsprong O) is de eerste coördinaat ${\displaystyle r}$ van P. Deze waarde kan negatief zijn. Als tweede coördinaat kiest men een van de mogelijke waarden van de georiënteerde hoek ${\displaystyle \theta }$ tussen de as ${\displaystyle u}$ en de poolas. Ook hier kan het punt P meerdere paren poolcoördinaten hebben.

Als ${\displaystyle r}$ een differentieerbare functie van ${\displaystyle \theta }$ is die door nul gaat voor ${\displaystyle \theta =\theta _{0},}$ raakt de door ${\displaystyle r}$ beschreven kromme daar aan de lijn ${\displaystyle \theta =\theta _{0},}$ Bij toelaten van een negatieve ${\displaystyle r}$ gaat voor die ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$ de kromme door O, anders eindigt de kromme bij O. Als de functie weer door nul gaat bij ${\displaystyle \theta =\theta _{1},}$ met ${\displaystyle r<0}$ voor ${\displaystyle \theta _{0}<\theta <\theta _{1},}$ dan is de kromme bij toelaten van een negatieve ${\displaystyle r}$ een gladde zichzelf in O snijdende kromme. Wordt een negatieve ${\displaystyle r}$ niet toegelaten, dan vervalt het deel ${\displaystyle \theta _{0}<\theta <\theta _{1},}$ en heeft de kromme in O een knik.

In natuurkundige formules betekent ${\displaystyle r}$ vaak de norm (grootte) van de plaatsvector ${\displaystyle {\vec {r}}.}$ Dat is dan een niet-negatieve grootheid, die dus onderscheiden moet worden van de ${\displaystyle r}$ zoals hier gebruikt, die negatief kan zijn. Een grootheid kan alleen in termen van zo'n laatstgenoemde ${\displaystyle r}$ (en ${\displaystyle \theta }$) worden uitgedrukt als de uitdrukking correct blijft bij negatieve ${\displaystyle r.}$ Zo is de grootte van de middelpuntzoekende versnelling dan niet ${\displaystyle r\omega ^{2}}$, maar ${\displaystyle |r|\omega ^{2}}$; anders gezegd: de versnelling is dan in de richting van afnemende ${\displaystyle |r|}$ en niet noodzakelijk in de richting van afnemende ${\displaystyle r.}$ Rekening moeten houden met een negatieve ${\displaystyle r}$ wordt zo al gauw onnodig ingewikkeld.

De vergelijking in poolcoördinaten van een halfrechte (of als ${\displaystyle r}$ ook negatief kan zijn een rechte lijn) door de pool is van de vorm ${\displaystyle \theta =c}$ (constant).

De vergelijking van een rechte lijn die niet door de pool gaat, is

${\displaystyle r={\frac {b}{\cos(\theta -\theta _{0})}},}$

waarin ${\displaystyle b}$ de afstand van de lijn tot de oorsprong is en ${\displaystyle \theta _{0}}$ de richting loodrecht op de lijn.

Een vergelijking van de rechte door de punten ${\displaystyle A=(r_{1},\theta _{1})}$ en ${\displaystyle B=(r_{2},\theta _{2})}$ is

${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})+r_{2}\cdot r\sin(\theta -\theta _{2})+r\cdot r_{1}\sin(\theta _{1}-\theta )=0}$

(of ${\displaystyle r}$ negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit).

Een poolvergelijking van een cirkel met middelpunt in de pool en straal ${\displaystyle 2R}$ is ${\displaystyle r=R.}$

Een vergelijking van een cirkel met middelpunt ${\displaystyle (r_{1},\theta _{1})}$ en straal ${\displaystyle R}$ is

${\displaystyle r^{2}-2r\,r_{1}\cos(\theta -\theta _{1})+r_{1}^{2}=R^{2}}$

De grafiek van

${\displaystyle r=2R\cos(\theta )}$

is een cirkel met middelpunt ${\displaystyle (R,0)}$ door de pool O.

Of ${\displaystyle r}$ negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit.

Een poolvergelijking van een kegelsnede met excentriciteit ${\displaystyle \varepsilon ,}$ een brandpunt in de pool en de corresponderende richtlijn loodrecht op de poolas is van de vorm

${\displaystyle r={\frac {p}{1-\varepsilon \cos \theta }}}$

Daarin is ${\displaystyle p}$ nog een parameter.

Als ${\displaystyle r}$ niet negatief mag worden is de grafiek van de vergelijking in het geval van een hyperbool slechts één tak, en moet ${\displaystyle p}$ in de overige gevallen positief zijn. Als een negatieve waarde voor ${\displaystyle r}$ niet wordt toegelaten, zijn ${\displaystyle r=5/(1+3\cos \theta )}$ en ${\displaystyle r=5/(-1+3\cos \theta )}$ bijvoorbeeld de vergelijkingen van de takken van een hyperbool, maar anders elk de vergelijking van de hele hyperbool.

De poolvergelijking van een ellips met de pool in het middelpunt en de poolas op de lange as, en met lange as ${\displaystyle 2a}$ en korte as ${\displaystyle 2b}$ is:

${\displaystyle r={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}}$

Draait men een kromme K met poolvergelijking ${\displaystyle F(r,\theta )=0}$ om de pool over een hoek ${\displaystyle \alpha ,}$ dan heeft de gewentelde kromme een vergelijking ${\displaystyle F(r,\theta -\alpha )=0.}$

Voorbeeld

De kromme K is gegeven door de poolvergelijking ${\displaystyle r=\sin 2\theta }$.Wentelt men de kromme over ${\displaystyle \pi }$ radialen om de pool, dan is de vergelijking van de gewentelde kromme K':

${\displaystyle r=\sin 2(\theta -\pi )=\sin(2\theta -2\pi )=\sin 2\theta }$

De krommen K en K' voldoen aan dezelfde vergelijking, ze vallen samen.

Poolcoördinaten zijn ook geschikt voor gebruik in meer dan twee dimensies. Er zijn verschillende generalisaties mogelijk. In het algemeen geldt dat een punt in de ${\displaystyle n}$-dimensionale ruimte geïdentificeerd wordt door ${\displaystyle (r,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n-1})}$, een voerstraal en ${\displaystyle n-1}$ welgedefinieerde hoeken.

Het poolcoördinatenstelsel voor een 3D-ruimte wordt het bolcoördinatenstelsel ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ genoemd en wordt uitgedrukt in een extra hoek ${\displaystyle \varphi }$. Het wordt veel gebruikt in de exacte wetenschappen voor het uitdrukken van punten in bollen of bolvormige lichamen. Voor cilinders en cilindervormige lichamen in 3D-ruimte wordt in dit vakgebied gebruik gemaakt van de cilindercoördinaten ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$, welke ook zijn afgeleid van de 2D-poolcoördinaten.

• 
  Bolcoördinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$
• 
  Cilindercoördinaten ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

• Poolcoördinaten. Gearchiveerd op 9 september 2013.
• http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html
• http://www.seriesmathstudy.com/polargraph.htm

• Gegeneraliseerde coördinaten
• Coördinatentransformatie
• Kromlijnige coördinaat
• Bolcoördinaten
• Cilindercoördinaten
• Poolcoördinaten in het Wikibook "Klassieke Mechanica"
• Spiraal (wiskunde)